О бедном проценте замолвите слово…

А.В.Боровских, Н.Х.Розов
(Москва)

Пожилая учительница встречает на улице
своего бывшего выпускника.
- Володя, я очень рада тебя видеть. Как ты
сейчас живешь?
- Всё у меня о-кэй, Марьванна. Бизнесом
занимаюсь, торгую.
- Да как же это ты бизнесом-то занимаешься?
Ты ведь в школе даже проценты усвоить не мог!
- А чё там усваивать? Вот покупаю коробку
американских сигарет за 17 долларов, а продаю
– за 19. На эти два процента и живу.

0. Как ни странно, «освоение процентов» оказывается одним из самых проблемных элементов школьного курса математики. Учащиеся и учителя хорошо знают, как мучительно усваивается тема «Проценты». Абитуриенты к числу трудных заданий вступительных экзаменов всегда относили «задачи на проценты». Преподаватели вузов с удивлением обнаруживают, что, сталкиваясь с процентами, студенты чувствуют себя весьма неуверенно. Горький смех вызывает та безграмотность, с которой проценты упоминаются подчас в передачах телевидения, в газетных публикациях.

Мы изложим свое видение причин, по которым изучение процентов доставляет школьникам такие трудности.

1. Зачем «проценты» школьному курсу математики? Если смотреть с точки зрения «принципа научности», то эта тема – вообще посторонняя. Действительно, «процент» не относится к числу важных открытий науки, в математической теории и в её приложениях он, как таковой, не играет никакой самостоятельной роли, не применяется и не исследуется. Математики без него вполне обходятся. Например, в фундаментальном пятитомном издании «Математическая энциклопедия» (М.: Изд-во «Сов. энциклопедия», 1977–1985) термин «процент» вообще отсутствует.

Наличие темы «Проценты» в школьном курсе математики определяется не их научным значением, а лишь чисто прагматическими соображениями. Исторически сложилось так, что проценты привычно употребляются в обиходе, в разговоре, в средствах массовой информации для того, чтобы по возможности кратко сообщить количественную информацию о сравнении данных, характеризующих различные ситуации. Они традиционно привлекаются как удобное средство для формального описания (но отнюдь не изучения!) относительного изменения (например, с течением времени) измеряемых величин в технике, экономике, финансовом деле, статистике, социологии, психологии, химии, биологии, фармакологии и др.

Казалось бы, именно в этом ключе и следует говорить о процентах в школе: объяснить их смысл и продемонстрировать их использование. Однако вместо этого в школьной программе по математике предусмотрено «капитальное» изучение процентов, к ним возвращаются несколько раз в основной и в старшей школе, их изложение превращено в отдельный, значительного объёма (по числу часов и по количеству задач) раздел, не адекватный их действительному значению.

Из скромного технического способа представления результатов сравнения различных величин процент превратился в грозного стража математического таинства. «Изучению процентов», решению «задач на проценты» посвящено много методических статей и книжек. В них наводится такой «теоретический лоск», так подробно излагаются разнообразные «тонкости», так тщательно классифицируются «типы задач на проценты», что создается впечатление: раздел «проценты» и в самом деле является отдельной и серьезной главой математики. Между тем, всё это не имеет никакого отношения к математической сути дела и порождается всего лишь живучей тенденцией всячески внедрять «наукообразие» в школьную математику.

Не будем отрицать очевидное и констатируем реальный факт: изучение «процентов» в школе действительно сопряжено с серьёзными затруднениями. На наш взгляд, эти затруднения связаны вовсе не с арифметическими аспектами «задач на проценты», а исключительно с двумя методическими проблемами: во-первых, с обеспечением простого и точного понимания школьниками смысла использования процентов, а во-вторых – с преодолением психологических сложностей свободного и полного понимания учащимися подчас специфических формулировок «задач на проценты».

2. Прежде чем говорить о процентах, совершенно необходимо познакомить учеников с гораздо более принципиальными и важными (но, к большому сожалению, отсутствующими в школьной программе) классическими понятиями качественного и количественного сравнения величин, дать школьникам возможность освоить соответствующую стандартную терминологию и свыкнуться с общепринятыми оборотами речи.

Обстоятельное изложение содержания и подробное обсуждение всех соображений по изучению темы «Сравнение величин» потребовало бы чересчур много места и должно стать предметом отдельного рассмотрения. Поэтому мы здесь лишь перечислим некоторые моменты этой темы, которые школьникам следует твердо усвоить.

а) При сравнении двух объектов речь всегда может идти только об их свойстве, качестве одинаковой природы. Более того, рассматриваемое свойство каждого из объектов должно получить статус величины, которая отождествляется с положительным числом.

б) Сравнение может быть симметричным или асимметричным. В случае симметричного сравнения оба сравниваемые объекты равноправны (пример вопроса: «Какой из двух данных отрезков имеет большую длину?»).

в) В случае асимметричного сравнения из двух сравниваемых объектов должен быть выделен, указан тот, с которым проводится сравнение. Числовая характеристика интересующего нас его свойства принимается за базовую величину, как бы за «начало отсчёта» и называется эталоном. Числовая характеристика интересующего нас свойства другого объекта, который сравнивается, называется вариантой. Задача сравнения состоит в том, чтобы охарактеризовать различие варианты и эталона.

г) Для ответа на вопрос «На сколько варианта отличается от эталона?» необходимо из варианты вычесть эталон. В этом состоит абсолютное сравнение варианты с эталоном. Результат $\Delta$ такого сравнения, называемый отклонением варианты от эталона, является именованным числом и выражается через принятую единицу измерения. Модуль этого числа называется абсолютным отклонением; знак этого числа «+» или «–» указывает, является варианта больше или меньше эталона.

д) Для ответа на вопрос «Во сколько раз варианта отличается от эталона?» необходимо варианту разделить на эталон. В этом состоит относительное сравнение варианты с эталоном. Результат $\lambda$ такого сравнения, называемый отношением варианты к эталону, является отвлечённым числом и выражается той кратностью или долей, которую составляет варианта от эталона. Это число положительное; оно больше единицы или меньше, если варианта больше или меньше эталона.

е) Для ответа на вопрос «Во сколько раз отклонение варианты от эталона отличается от эталона?» необходимо отклонение разделить на эталон. В этом состоит относительное сравнение отклонения с эталоном. Результат $\epsilon$ такого сравнения, называемый относительным отклонением варианты от эталона, является отвлечённым числом. Модуль этого числа равен кратности или доле, которую составляет абсолютное отклонение от эталона; знак этого числа «+» или «–» указывает, является варианта больше или меньше эталона.

Термин «эталон» (от фр. «étalon» – «эталон») хорошо знаком и означает, в частности, «образец для сравнения». Менее популярен использованный нами термин «варианта» (от лат. «varians» - «изменяющийся»), который надо понимать как «изменившаяся величина», «величина, отличная от эталона». Обоснованием введения этого термина может служить то обстоятельство, что часто в приложениях типична ситуация, когда с одним и тем же единым, фиксированным эталоном приходится последовательно сравнивать не одну, а много величин, каждая из которых по-своему отклоняется от эталона.

3. Далее имеет смысл кратко затронуть (важный и сам по себе) вопрос о различных представлениях чисел.

Основным и общепринятым является десятичный позиционный способ представления чисел. Однако он оказывается мало удобным, когда в приложениях, при измерениях появляются «слишком длинные» или «слишком громоздкие» числа. Психологически человек к числу 29375640173,7492804513385 испытывает антипатию – ни прочитать, ни воспринять, ни тем более запомнить его фактически невозможно. Так как на практике обычно важна не «идеальная точность», а «удобное приближение», то в первую очередь роль играют «величина разрядности» числа и его одна или две (реже три) первые значащие цифры – именно эти характеристики числа и выделяют. Например, указанное выше число записывают в форме $29\cdot 10^9$ . В случае именованных чисел этой же цели служат шкалы единиц измерения: так, вместо 0,00000005371902 км пишут 0,05 мм.

Напомним и известный факт: одно и то же число может записываться с помощью различных обозначений (и в разных ситуациях используется то из них, которое удобнее). Так, число «восемь» изображается символами: $8;\quad VIII;\quad 8,000;\quad 8/1;\quad 7,(9);\quad (1/8)^{-1};\quad log_2 256$ и т. д. При работе в 16-риченой системе счисления привлекаются обозначения для «дополнительных» цифр (помимо обычных десяти), например: A=10, B=11, … , F=15. Для иррациональных чисел принято использовать искусно придуманный значок: $\sqrt{17}$ . За отдельными «выдающимися» числами закреплены специальные буквы: $\pi ,\quad e,\quad \phi$ (число Фибоначчи) и др.

4. Перед тем, как непосредственно перейти к введению процентов, рассмотрим, например, такую ситуацию. Из 864 избирателей за Иванова проголосовали 327 человек. Как охарактеризовать «степень» его успеха, как «далеко» он оказался от «полной победы»? Речь идёт об описании относительного сравнения числа избирателей, отдавших свои голоса Иванову, с общим числом избирателей. Здесь число 864 является эталоном, число 327 служит вариантой. Ясно, что Иванов собрал $327/864$ -ую долю общего числа голосов. Но уж очень громоздко и необозримо! Можно эту обыкновенную дробь сократить: $109/288$ или привлечь десятичные дроби: $327/864=0,3784722...$ , однако и эти записи результата выборов тяжеловесны, их сложно запомнить и наглядно представить.

Поскольку «далёкие» десятичные знаки в последней дроби особой роли не играют, удобно ещё более упростить ответ и сказать, что Иванов набрал без малого 0,38 от числа всех голосов избирателей. Или $38/100$ всех голосов. Эти дроби допускают довольно прозрачную интерпретацию: они означают, что за Иванова проголосовало в среднем почти 38 человек на каждую сотню избирателей. Коротко и легко запоминается!

Таким образом, представление результата относительного сравнения в форме «сколько-то на сотню» оказывается чрезвычайно удобным. Поэтому понятно естественное стремление к стандартизации этой формы, заключающейся в стилизации части дроби «/100» в виде специального символа «%».

Именно, общепринято использовать следующее

ОБОЗНАЧЕНИЕ. Число $1/100 = 0,01$ обозначается еще и значком %, который называется «процент».
Если p – действительное число, то выражение p% (читается: «пэ процентов») представляет собой произведение чисел p и %:

$p\% = p \cdot \% = p \cdot 0,01 = p \cdot 1/100 = p/100 = p \cdot 10^{-2}.\qquad \qquad (1)$

Это обозначение позволяет сформулировать результат упомянутого выше голосования совсем удобно: «Иванов собрал почти 38% голосов».

Слово «процент» (ударение делается обязательно на букве «е») – существительное мужского рода. Оно происходит от латинского «pro centum» − «на сотню». Полезно иметь в виду, что на Западе широкое распространение получила манера записывать, например, дробь 0,35 в форме «.35», опуская «ноль целых» (и используя для отделения дробной части точку, а не принятую у нас запятую). При этом часто вместо 1% используется обозначение «.01».

Учащимся необходимо сообщить, что в русском языке слово «процент» имеет и другое смысловое значение − выражает тот факт, что заёмщик (помимо возврата предоставленных ему кредитором денежных средств) должен дополнительно заплатить кредитору за использование этих средств. Об этом говорит, например, объявление: «Банк предоставляет населению кредиты под проценты».

5. К введённому обозначению надо, конечно, привыкнуть, осознать, что в употреблении для числа $1/100 = 0,01 = 10^{-2}$ ещё и нового значка % нет ничего особо нового и неожиданного. В самом деле, пишем же мы $\pi \approx 3,14 \approx 22/7$ . А выражение p% очень логично понимать как произведение двух чисел p и % с опущенным по традициям алгебры знаком умножения (точка « $\cdot$ »).

В частности, $1\% = 1\cdot 1/100 = 1/100 = 0,01$ – и мы получаем еще одну новую форму записи дроби 0,01. Так как $100\% = 100\cdot 1/100 = 1$ , то, значит, в виде 100% можно записывать число 1.

Справедлив и следующий общий факт:
любое число a можно записать в виде

$a = 100 \cdot a \cdot 1/100 = (100a)\%.\qquad \qquad (2)$

Если некоторое число $a$ представлено с помощью символа % в виде $(100a)\%$ , то говорят, что это число $a$ выражено в процентах.

Опыт показывает, что школьники легко принимают обозначение % и спокойно его используют. Скептицизм в отношении трактовки символа % как числа возникает обычно (и довольно часто!) у учителей в связи с вопросом, как с этим «числом %» проводить операции. Ответ: точно так же, как они выполняются, например, с числом $\pi$ − с той лишь (весьма удобной нам) разницей, что в любой момент можно вместо «числа %» подставить его численное точное значение. Ничто не мешает понимать запись a + % как сложение a + 0,01, запись %% как степень $(\%)^2$ и т. д. и проводить, скажем, такие вычисления:

$42\% + \% -28\%\cdot 0,5\% -7\cdot 13\% /61\% = 43 \cdot \% - 28 \cdot 0,5 \cdot (\% )2 - (7 \cdot 13/61)\cdot (\% / \%) =$
$= 43 \cdot 0,01 - 28 \cdot 0,5 \cdot 0,012 - 7 \cdot 13/61 =...$

Но почему же это никогда и нигде не делается? Использование символа % в стандартных арифметических вычислениях и алгебраических преобразованиях не доставляет никакого удобства, не даёт никаких преимуществ. Поэтому в арифметике и алгебре в символе % нет никакой необходимости и он там не встречается.

Проценты традиционно используются исключительно как средство записи результата относительного сравнения положительных величин, то есть отношения или относительного отклонения таких величин – и больше нигде. В этом и только в этом состоит единственное разумное предназначение процентов.

Математика процентов чрезвычайно проста и в общем виде состоит в следующем. Пусть нас интересует возникающее в прикладной проблеме относительное сравнение варианты, обозначаемой m > 0, с эталоном, обозначаемым M > 0. Результатом такого сравнения является числовое отношение m/M этих двух чисел. Всегда можно построить специального вида пропорцию m/M = p/100 и тем самым записать исходное числовое отношение в виде равной ему дроби p/100. Если при этом число p оказывается «удобным», то есть смысл использовать проценты и выразить результат сравнения величины m с величиной M в форме «p%». (Совершенно аналогично обстоит дело в случае, когда речь идёт об относительном сравнении отклонения с эталоном.)

Таким образом, основная функция процентов – не вычислительная. В современном своем употреблении, взятый сам по себе, «процент» не позволяют ничего подсчитывать, преобразовывать, определять, не является «частью чего-либо». Проценты являются просто одной из технических, но распространённых форм представления данных.

В силу каких же причин привычка использовать проценты для сообщения результата относительного сравнения величин оказалась такой популярной и живучей? Видимо, все дело в интуитивном нежелании людей лишний раз использовать дроби, в стремлении чаще работать с целыми (или по возможности – «короткими») числами. (Кстати, с этой же целью были введены и многие профессиональные «неметрические» единицы измерения, например, «карат».)

Как правило, в выражении p% число p стараются сделать целым (то есть результат сравнения округляется до целого числа процентов), и притом желательно, чтобы оно было не более чем трехзначным. При особой необходимости, конечно, могут добавляться и десятые, и сотые доли процента, например: 135,2% или 0,08%. Однако следует понимать: чем больше десятичных знаков пишется, тем меньше смысла выражать результат сравнения «в процентной форме», ибо её удобство как раз и заключается в использовании не слишком «длинных» чисел.

Думающий ученик при знакомстве с процентами может задать нетривиальный вопрос: почему выделяется именно сравнение «столько-то на сотню», то есть пропорция m/M = p/100, и именно для числа 1/100 «прижилось» специальное обозначение? Ответы на эти вопросы нет смысла искать в математике, поскольку они лежат за её пределами и состоят в использовании для каждого конкретного случая наиболее удобной формы представления данных.
Люди далеко не всегда используют обязательно сравнение «столько-то на сотню». Вспомните фразы «из трёх бросков два оказываются удачными», «каждый двадцатый встречный идёт в пальто», «телефон звонит почти ежеминутно» и т. д., которые мы употребляем довольно часто. А ведь это и есть «другие» формы выражения сравнения величин. Например, «восемь попаданий из каждых десяти выстрелов» означает, что результат сравнения варианты (число попаданий) с эталоном (число всех выстрелов) приблизительно равен 8/10 = 0,8. Здесь очень важно добиться, чтобы учащиеся ясно понимали «усреднённый» смысл результата этого сравнения: такой результат вовсе не означает, что из любых 10 выстрелов цель обязательно будет поражена 8 раз.

Однако, например, для дроби 1/10 специального обозначения не возникло – не сложилось. Наверно, потому, что сравнение «столько-то на десятку» не даёт возможности обеспечивать достаточную точность результата сравнения величин, используя «удобные» («короткие») числа. Но и дробь 1/100 не является единственной, которая имеет свой персональный символ. Достаточно широко употребляется (прежде всего, в химии, биологии, фармакологии) специальное обозначение для числа 1/1000 – значок ${}^o/_{oo}$ . (Этот значок называется «промилле» с ударением на «и», а слово происходит от лат. «pro mille» – «на тысячу» и является несклоняемым существительным женского рода).

И ещё одно принципиальное замечание. Если в результате сравнения величин установлено, что одна из них составляет 0,28 другой, то мы можем выразить этот факт словами «Одна величина составляет 28% от другой». Однако если в какой-либо иной ситуации (в арифметической задаче, при расчётах и т. д.) мы встречаем дробь 0,28, то её ни в коем случае нельзя читать «28 процентов»!

6. Проанализируем, как вводятся проценты в различных учебных пособиях и справочниках (обойдемся при этом без ссылок). Удивительно, но в приводимых там «определениях» наблюдаются непривычные для математики недомолвки и разночтения.

«Процент – одна сотая часть». Коротко и … непонятно. Тут же возникает вопрос: часть чего? Ведь «часть» бывает только «у чего-то целостного», а ни про какое «целостное» в определении не говорится.

А вот попытка предвосхитить этот вопрос: «Процент – сотая доля целого, принимаемого за единицу». Интересно, читая фразу «В выборах участвовало 62,7% избирателей», школьник действительно должен представлять себе, что «целое», т. е. общее число избирателей, равно 1?

«Одну сотую часть числа (величины) называют процентом этого числа (величины)». Пример того, как мы разговариваем с учащимися, считая, что они свободно понимают все наши «взрослые» слова. В самом деле, о каком «числе» идёт речь, откуда оно берётся? Оно любое – или как-то (кем-то) выбрано? В чём точно разница между словами «число» и «величина» – или это просто синонимы? Учитель с вершин своего образования, видимо, поймёт, что и как надо трактовать. Но учебник ведь обращается к ученикам основной школы определённого возраста, которые ещё только овладевают нюансами речи.

«1% от А означает сотую долю некоторого числа А, обычно именованного». «Процентом от любой величины называется её одна сотая часть». Действительно ли школьники 13-15 лет могут чётко объяснить сходство и различие между «некоторым числом» и «любой величиной»? Как лучше говорить: «процент числа» или «процент от числа»? Далее, «сотая доля именованного числа» автоматически является числом именованным. Поэтому «1%» в каждом конкретном случае имеет отдельный «именованный» смысл. Значит ли это, что существует много разных «процентов»?

Отметим, что иногда делаются робкие шаги к той трактовке, которую мы предложили выше. В качестве примера приведём цитату (сохраняя стиль оригинала). «Для обозначения одной сотой числа употребляется слово процент: 1/100 − процент. … При записи вместо слова процент используют значок %. Например, вместо слов один процент пишут: «1%» … 1% − это 1/100 от целого. Целое составляет 100/100.» Но сможет ли ученик легко разобраться в этом эклектическом смешении разных подходов, написанном к тому же весьма невнятно?

Рассмотрим ещё приведенное в качестве образца решение задачи «Сколько процентов составляет 120 от 250?»:

$(120/250)\cdot 100\% = 0,48\cdot 100\% = 48\%$ .

Естественно спросить: а почему, собственно, можно число 0,48 умножить на число 100 и затем приписать к произведению символ %?

Нетрудно заметить, что все эти «определения» при всей их наукообразности упускают самое главное: процент – это не отдельное понятие, а всего лишь одна из рабочих, технических форм описания, представления отношения величин.

7. Как же именно используются проценты и какие задачи в связи с этим приходится рассматривать? Отметим сразу, что приведенные выше обозначение (1) и представление (2) позволяют сделать заключение, что, собственно, «задач на проценты» как таковых вообще не существует. Любую такую «задачу» можно немедленно переформулировать в виде «обычной» арифметической задачи, в которой значок % уже не участвует, а нужно оперировать только с целыми и дробными числами.

Возьмём для примера задачу из демонстрационного варианта КИМа 2010 г., которая, судя по всему, была рассчитана составителями на проверку знания выпускниками процентов. Билет на автобус стоит 15 руб. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 руб. после повышения цены билета на 20%? Но всё необходимое «знание процентов» сводится к тому, что 20% = 1/5. Смысл задачи в том, чтобы правильно понять выражение «после повышения цены билета», т. е. понять, что новая цена билета равна «старая цена + 1/5 от старой цены».

Ситуаций, в которых возникают «задачи на проценты», всего две.

I. Относительное сравнение с эталоном $M> 0$ варианты $m> 0$ . Результат $\lambda$ такого сравнения − число, получаемое делением варианты на эталон:

$m/M=\lambda.\qquad \qquad \qquad (3)$

Можно сказать, что варианта как бы «измеряется» в «эталонах», а число $\lambda$ показывает, «сколько раз» эталон «укладывается» в ней. Здесь уместна аналогия с тем, как мы измеряем длину данного нам отрезка, последовательно откладывая на нём «эталон метра» (и его доли).

Согласно (2), число $\lambda = (100\lambda)\%$ . Если для краткости ввести новое число

$p=100\lambda ,\qquad \qquad \qquad (4)$

то результат сравнения запишется и в другой, совершенно эквивалентной форме – с помощью символа %:

$m/M=p\%.\qquad \qquad \qquad (5)$

Формула (5), как и (3), выражает результат относительного сравнения варианты $m$ с эталоном $M$ : она показывает, какую часть (кратность) от эталона $M$ составляет варианта $m$ , но, в отличие от (3), в процентах. Число $\lambda$ (см. (3)) называют отношением варианты $m$ к эталону $M$ , а выражение $p\%$ (см. (5), (4)) – процентным отношением (не путать с числом $p!$ ).

Неравенство $p\% > 100\%$ соответствует случаю «варианта больше эталона», а $p\% < 100\%$ – случаю «варианта меньше эталона».

ПРАВИЛО. Чтобы найти процентное отношение $p\%$ варианты $m$ к эталону $M$ , надо частное $\lambda$ от деления $m$ на $M$ умножить на 100 и затем поставить справа значок % (см. (4), (5)). Если известно процентное отношение $p\%$ варианты $m$ к эталону $M$ , то их отношение $\lambda$ получается отбрасыванием значка % и делением числа $p$ на 100 (см. (5), (4)).

Ученики должны твёрдо усвоить: ключевая фраза «варианта $m$ составляет $p\%$ от эталона $M$ » математически записывается формулой (5) или, что то же самое, в виде

$m = p\% M = (pM)/100$ .

Это целесообразно записать на плакате и вывесить в классе.

Отношение варианты $m$ к эталону $M$ :

$\frac{m}{M}=\lambda=(100\lambda)\%=p\%$ или $m=p\% M=\frac{pM}{100}$

«Процент» допускает весьма естественную наглядную интерпретацию. Числа $\lambda$ и $p\%$ являются просто двумя различными эквивалентными формами записи одного и того же результата «измерения» варианты $m$ эталоном $M$ . А каков же смысл самого числа $p$ ? Ничто не мешает нам ту же самую варианту $m$ «измерять» с помощью другого эталона, например, $\frac{1}{100} M$ . (Ведь можно измерять метром, а можно − сантиметром.) Так как «единица измерения» уменьшилась в 100 раз, то результат нового «измерения» увеличится в 100 раз и окажется равным $100\lambda = p$ (см. (4)), т. е. сотая доля эталона $M$ в варианте $m$ «укладывается» $p$ раз. Следовательно, число $p$ является отношением варианты к сотой доле эталона.

Легко видеть, что если $\lambda$ – отношение варианты к эталону (см. (3)), то число $\lambda \%$ является отношением той же варианты к 100-кратно увеличенному эталону.

II. Относительное сравнение с эталоном $M> 0$ отклонения $\Delta = m - M$ варианты $m > 0$ от этого эталона. Результат $\epsilon$ такого сравнения − число, получаемое делением отклонения на эталон:

$\Delta / M = \epsilon.\qquad \qquad \qquad (6)$

(Это число может быть как положительным, так и отрицательным.)
Согласно (2), число $\epsilon = (100\epsilon)\%$ . Если ввести новое число

$q = 100\epsilon \qquad \qquad \qquad (7)$

то результат сравнения запишется с помощью символа %:

$(m - M) / M = q\%.\qquad \qquad \qquad (8)$

Формула (8), как и (6), выражает результат относительного сравнения отклонения $\Delta$ с эталоном $M$ : она показывает, какую часть (кратность) от эталона $M$ составляет разность $m-M$ между вариантой $m$ и эталоном $M$ , но, в отличие от (6), в процентах. Число $\epsilon$ (см. (6)) называют относительным отклонением варианты $m$ от эталона $M$ , а выражение $q\%$ (см. (8), (7)) – процентным относительным отклонением (не путать с числом $q!$ ).

Неравенство $q\% > 0$ соответствует случаю «варианта больше эталона», а $q\% < 0$ – случаю «варианта меньше эталона». На практике обычно предпочитают использовать «проценты без знака»: при $q\% < 0$ принято вместо «варианта отличается от эталона на $q\%$ » говорить «варианта меньше эталона на $|q|\%$ », а при $q\% > 0$ говорят «варианта больше эталона на $|q|\%$ ».

ПРАВИЛО. Чтобы найти процентное относительное отклонение $q\%$ варианты $m$ от эталона $M$ , надо частное $\epsilon$ от деления $m-M$ на $M$ умножить на 100 и затем поставить справа значок % (см. (7), (8)). Если известно процентное относительное отклонение $q\%$ варианты $m$ от эталона $M$ , то их относительное отклонение $\epsilon$ получается отбрасыванием значка % и делением числа $q$ на 100 (см. (8), (7)).

Из формул (6) и (3) (или (8) и (5)) немедленно следуют простые, но часто полезные соотношения: $\lambda - \epsilon = 1$ и $p\% - q\% = 100\%$ .

Ученики должны твёрдо усвоить: ключевая фраза «варианта $m$ на $q\%$ отличается от (больше, меньше) эталона $M$ » математически записывается формулой (8) или, что то же самое, в виде

$m = M (1 + q\%) = M (1 + (q / 100))$ ,

где $q\% > 0$ в случае «больше» и $q\% < 0$ в случае «меньше».

Это целесообразно записать на плакате и вывесить в классе.

Относительное отклонение варианты $m$ от эталона $M$ :

$\frac{m-M}{M}=\epsilon=(100\epsilon)\%=q\%$ или $m=M(1+q\%)=M(1+\frac{q}{100})$

Собственно, освоения содержания этих двух плакатов достаточно, чтобы разобраться в любой «задаче на проценты». Не надо требовать «зазубривать» эти формулы, они постепенно улягутся в процессе свободного использования плакатов. Необходимо лишь подробно обсудить в классе «базисные» типы задач, что и позволит познакомить учащихся с идеями решения фактически всех встречающихся «задач на проценты».

Из-за дефицита места мы лишь перечислим темы главных, на наш взгляд, «базисных задач на проценты»:

− Задачи типа «сколько процентов варианта составляет от эталона» и «на сколько процентов варианта отличается от эталона» (изменение цен, расчёт платежей и др.).

− Задачи о двух (и больше) заданных в процентах последовательных отклонениях варианты от эталона (проценты по вкладам, расчёт пени и др.).

− Задачи «на смеси, сплавы и концентрации», «на усушку» и т.п..

8. Самое сложное и самое важное в каждой конкретной «задаче на проценты» – вовсе не рутинные арифметические действия, а умение выяснить, точно понять, какая из участвующих в условии величин является эталоном, а какая – вариантой. И именно этому в первую очередь необходимо терпеливо и настойчиво обучать школьников. Например, они должны легко понимать бессмысленность вопросов типа «На сколько процентов различаются между собой числа 17 и 19?».

К сожалению, нередко встречаются задачи, авторы которых сами весьма смутно осознают суть дела. Вот задача из одного пособия: «В 1992 г. производство упало на 19%, в 1993 г. – в 1,5 раза. На сколько процентов упало производство к концу 1993 г.?». Как понимать «второе падение»? Имеется ли в виду, что падение в 1992 г. произошло на 19% от неназванного начального уровня отсчета, а за 1993 г. производство снизилось в 1,5 раза от уровня конца 1992 г.? Ведь допустимо и иное толкование: в 1992 г. производство упало на 19% от (неназванного) эталона, а в 1993 г. – в 1,5 раза от того же эталона. (Кстати, в статистических таблицах часто берется единый исходный рубеж и приводятся изменения по годам именно от него.)

Хорошо известно, что в русском языке (особенно в разговоре) допустима «вольность речи», когда пропускаются отдельные слова, легко восстанавливаемые по понятной внутренней логике фразы. Этот феномен типичен и для многих «фраз о процентах», и для формулировок многих «задач на проценты» – и именно он является основным камнем преткновения для значительной части учащихся.

Традиционно тема «Проценты» изучается в 6 – 7 классах, а в старшей школе к ним возвращаются только походя (если не считать факультативы экономической ориентации). Между тем, к лексической специфике текста «задач на проценты», к логическому анализу их формулировок учащиеся основной школы в своей массе ещё совершенно не готовы. Они не знают многих терминов и языковых оборотов, не готовы воспринимать подтекст, не в состоянии восстанавливать недосказанности «взрослой речи», которую почему-то часто считают возможным использовать учителя и авторы учебников, не владеют в достаточной мере тонкостями стилей письменного языка (прежде всего – формально-бюрократического, характерного для таких задач).

Поэтому учителю математики следует тщательно проводить с учениками лингвистический анализ содержания каждой предложенной задачи, помогать им по смыслу, по контексту разобраться в «фигуре умолчания», если она содержится в формулировке. Это особо важно, когда в задаче встречаются фразы типа «Цена упала на 27%», «Скидки до 30%», «Индекс продаж достиг 91%», «Уровень безработицы приближается к 15%» и т. д. Особый разговор – о понимании смысла часто сообщаемой информации, «нагруженной» профессиональным жаргоном экономистов, например: «Курс акций просел на 3 пункта».

Весьма уместно было бы с учениками составить коллекцию и провести филолого-математический анализ расхожих фраз типа «Я уверен в этом на все сто», «Наши шансы пятьдесят на пятьдесят», «У него осталось лишь полпроцента надежды» и т. п.

Почему мы так подробно говорим о вещах, казалось бы, относящихся к кругу забот преподавателя русского языка? Потому что решение проблемы чёткого понимания математического содержания словесной формулировки задачи не может обеспечить никто, кроме учителей-математиков. Учитель русского языка не в состоянии здесь помочь, ибо профессионально не владеет математическим материалом, программа его занятий подобных вопросов совсем не касается.

Кстати, тема «Проценты» (наряду с некоторыми другими) предоставляет учителю математики хорошую возможность для того, чтобы познакомить школьников с тем, как надо грамотно «читать» числа, дроби и проценты. Иначе кто объяснит ученикам, как правильно прочитать «2,3%»: «два целых и три десятые процента», «две целых и три десятых процента», «два целых и три десятые процентов»? К сожалению, научить школьников грамотно склонять числительные нашей школе, видимо, не под силу. Поэтому надо хотя бы объяснить им, что всегда можно «перестроить» фразу так, чтобы числительное потребовалось употребить в именительном падеже.

И ещё одна важная проблема, которую следует решать при изучении процентов. Школьникам надо прочно усвоить, что при сравнении объектов имеет смысл говорить лишь о тех их качествах, которые могут быть объективно выражены реальными числовыми характеристиками. Только в этом случае имеет смысл использование процентов для выражения результата сравнения.

Здесь математика должна помочь молодёжи обезопасить себя от агрессивной рекламы, которая подчас действует на психику своей «красивой научностью», а на самом деле рассчитана на «лохов». Мы имеем в виду прежде всего многочисленную бессмысленную информацию вроде «Шампунь NN обеспечивает до 146% блеска волос», «Использование нашей щёточки для ресниц на 72% увеличит выразительность Вашего взгляда», «Эта паста удаляет до 87% пятен на зубах», «100% закрашивает седину» и т. д.

Теоретики школьной методики математики заключили, что тема «Проценты» вполне посильна для учащихся 6 – 7 классов. В результате школьники получают лишь примитивные и поверхностные знания, имеют место расточительная трата учебного времени и малопроизводительная работа учителей. По нашему мнению, полноценного освоения темы «Проценты» в основной школе добиться невозможно в силу объективных положений возрастной психологии и уровня общей подготовки учеников. И если мы хотим сделать эту тему действительно доступной и практически полезной – её изучение целесообразно перенести в старшую школу.

Ещё более удачным вариантом было бы перемещение знакомства с процентами в курс экономических знаний. Не надо сходу отклонять обсуждение этого предложения. Позаимствовал же курс информатики понятие «алгоритм», которое возникло и изучалось математиками ещё до рождения самого слова «информатика». И от этого курс информатики стал только богаче и интереснее.

Ученики на уроках математики сегодня упражняются в решении «текстовых задач на проценты» с надуманными и малоосмысленными ситуациями − вроде той, когда пешеход на 23% увеличил свою скорость на второй половине пути по сравнению с первой. Но попросите их объяснить точный смысл фразы «Инфляция за год составила 7%» − и связный ответ прозвучит очень редко. Только в курсе экономических знаний есть реальная возможность связать проценты с актуальными для современной действительности новыми фундаментальными понятиями, показать школьникам использование процентов в серьёзных, затрагивающих всех вопросах, имеющих важное жизнеобеспечивающее значение для людей (экономическая статистика, начисление налогов, накопление вкладов, финансовые пирамиды и др.). Кстати, именно финансовая математика – единственная область, где проценты используются не просто для представления данных, а для каких-то содержательных вычислений.

В заключение – вопрос, на который читателю предлагается быстро ответить устно.

Что больше: число, составляющее $\pi \%$ от числа $e$ , или число, составляющее $e\%$ от числа $\pi$ ?