О геометрии. (Первое знакомство)

О.С.Ивашев-Мусатов (г.Москва)

Эти странички предназначены тем учащимся, которые с трудом (и неприязнью) преодолевают обязательный для всех, начиная с шестого класса, курс геометрии. Возможно, что такое положение возникает при разговоре о вещах, которые невозможно нарисовать на листе бумаги, а надо домысливать некоторые абстрактные образы. В первую очередь это относится к понятию прямой. Поэтому на первый год-два стоило бы его отложить и ограничиться только тем, что может быть нарисовано полностью на листе бумаги. Предполагается, что при начальном изучении геометрии, проводится надлежащая практика обращения с использованием линейки, чертежного угольника, транспортира, определению углов между направлениями на местности (обычного набора практических упражнений по съёмке планов участков).

Здесь не приводятся упражнения. В учебной литературе их много, самого разного уровня. Их набор определён склонностью и вкусом преподавателя. Единственное, за чем придётся следить – не пропустить раньше времени понятие прямой для неподготовленных ещё учащихся.

В геометрии называют частью плоскости и лист бумаги (лист в тетради) и доску в классе на стене и поверхность стола. Всё, о чём будет говориться на ближайших страницах, относится к рисункам на части плоскости. Начинают обычно с простейших.

Это точки, их обозначают буквами латинского алфавита (рис.1).

Любые две точки можно соединить отрезком пользуясь линейкой (рис.2).

Соединяя точки A и B получаем единственный отрезок, который обозначают AB и говорят «отрезок AB» (рис.3).

Сами точка A и B называют концами отрезка AB. Каждый отрезок имеет определённую длину. Её находят прикладывая к отрезку линейку с делениями (рис.4).

Здесь длина отрезка AB равна 2,7см= 27мм, а длина отрезка MN равна 43мм = 4,3см. Каждый отрезок можно сделать короче или длиннее. На рис.5 отрезок AB сделан длиннее – получился более длинный отрезок AC, а отрезок MN сделали короче – получили отрезок ML.

Два отрезка (рис.5) можно сравнивать по длине и не измеряя их. Для этого достаточно скопировать на прозрачную бумагу один из них и приложить к другому. Сразу станет ясно - какой отрезок длиннее. При этом говорят: отрезок AB наложили на отрезок MN (на рис.6 видно, что отрезок MN длиннее, а отрезок AB короче).

Отрезок с концами А и В и его длину обозначают АВ. Два отрезка с общим концом (общий конец – точка А на рис.7) и часть плоскости между ними (на рис.7 эта часть отмечена тоном или дужкой) называют углом и говорят «угол BAC» (рис.7).

При этом точку А называют вершиной этого угла и она записывается на втором месте. Отрезки называют сторонами угла. На рис.7 отрезок АВ – одна сторона угла, а отрезок АС – другая сторона этого угла. Принята также запись

ВАС для угла ВАС, знак

заменяет слово угол. Два угла равны, если при наложении они совмещаются и пишут:

ВАС =

KMN. Это значит: вершина A совмещается с вершиной M, сторона AB накладывается на сторону MN (их длины могут быть разными), сторона AC накладывается на сторону MK и так, чтобы при этом отмеченные части плоскости тоже накладывались друг на друга. Можно совмещать и AB с MK, а AC с MN. Проверьте равенство

CAB=

KMN на рис.8, скопировав один угол и накладывая его на другой.

Если при сравнении угла ВАС с углом KMN получаем рис.9, т.е. отрезок АВ наложился на отрезок MN, вершины A и M совместились, отмеченные части плоскости наложились, но не совместились (тонированная часть плоскости для угла NMK, а дужка – для угла BAC) - отрезок АВ оказался внутри отмеченной части плоскости

KMN, то говорят: угол BAC меньше угла KMN и записывают это так:

BAC <

KMN.

На рис.9 кроме углов BAC и KMN можно ещё отметить угол KMC, это разность углов BAC и KMN и пишут

KMC =

KMN -

BAC.

Прикладывая углы так как показано на рис. 10 получают угол NAB, его называют суммой углов NMK и CAB и пишут

NAB =

NMK +

CAB.

Углы измеряют в градусах (в отличие от отрезков, которые измеряют в сантиметрах, мм и пр.). На рис.11 показано измерение угла ВАС при помощи транспортира. Результат измерения – величина угла ВАС равна 35 градусов. Это часто записывают так:

А = $35^o$ .

При измерении углов (как и при их сравнении) длины их сторон не играют роли: если требуется, то стороны увеличивают. Из равенства углов следует равенство их величин в градусах. Так, если величина угла BAC равна $a^o$ , а величина угла NMK равна $m^o$ , то из равенства углов следует $a^o=m^o$ . Если угол BAC меньше угла NMK, то $a^o<m^o$ . Для суммы и разности углов положение аналогично: из

BAN =

BAC +

NMK следует, что величина угла BAN равна $a^o+m^o$ , а из

KMC =

KMN -

BAC следует, что величина угла KMC равна $m^o-a^o$ .

По своей величине углы делят на: острые с величиной меньше $90^o$ ; прямые, величина которых равна $90^o$ (они играют особо важную роль в геометрии и практике); тупые – их величина больше $90^o$ и меньше $180^o$ (рис.12).

На рис.13 изображен угол в $180^o$ - его называют развернутым углом.

На рис.14 изображены два угла, их называют вертикальными. Их признак: стороны одного угла – продолжение сторон другого угла. На рис. 14 сторона AB есть продолжение стороны MN, а сторона AC - продолжение стороны MK.

Есть случаи, когда обнаружить равенство углов можно не пользуясь прозрачной бумагой. Например, докажем равенство вертикальных углов (в общем случае). Из рис.14 видно, что

ВАС =

BAN -

CAN и

NMK= =

CAK -

CAN. Поскольку правые части равны, (

BAN =

CAK как развёрнутые), то равны и левые части, т.е

BAC =

NMK.

С треугольниками и прямоугольниками все знакомы и из начальной школы и из практики. Наиболее знакомы прямоугольники т.к. они повсюду нас окружают: стены это прямоугольники, классная доска это прямоугольник, страницы в тетради и книжке это прямоугольники, комната и коридор в плане это прямоугольники. У прямоугольника все углы прямые, а противоположные сторона равны по длине (на рис.15 KM=LN, KL=MN). Существование прямоугольников было положено в основу геометрии на плоскости ещё в XYII веке итальянским математиком Саккери (см.рис.15).

Аксиома (Саккери) Если углы KMN и LNM прямые и KM=LN, то MN = KL и углы LKM и KLN тоже прямые.

Было выяснено, что это утверждение не следует из остальных, если не вводить что-либо равноценное аксиоме Саккери (подмечена она за тысячелетия строительной практики). Для каждого прямоугольника определена его площадь – произведение длин его сторон с общим концом. На рис.16 около сторон прямоугольника буквами обозначены их длины. Обозначая буквой S величину площади прямоугольника, записываем S = ab. Вспомните вычисление площади комнаты, коридора, класса, поля-огорода. Прямоугольник, стороны которого равны, называют квадратом. Площадь квадрата равна $a^2$ , $a$ – длина его стороны.

Перейдём теперь к треугольниками (рис.17). Точки А, В и С называют вершинами треугольника. Отрезки АВ, ВС и СА называют сторонами этого треугольника. Углы: В (отмечен дужкой), С (отмечен двойной дужкой) и А (отмечен перечеркнутой дужкой) называют углами этого треугольника. О треугольнике с вершинами А, В и С говорят: «треугольник АВС» и коротко пишут $\Delta ABC$ (знак $\Delta$ заменяет слово треугольник).

Два треугольника равны, если при наложении они совпадают. Но равенство двух треугольников можно устанавливать и при помощи
признаков равенства треугольников.

Теорема 1. (1-й признак равенства треугольников). Если в двух треугольниках равны две стороны и угол между ними, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть о $\Delta ABC$ и $\Delta KMN$ известно:

A =

M , AB=MN и AC=MK. Из равенства AB=MN следует: эти отрезки можно совместить так, что совпадут точки A с M и B с N. После этого совмещаем равные углы так, что отрезки AC и MK совместятся, а точка C совместится с точкой K (т.к. длины отрезков равны). В результате такого наложения все вершины треугольников совместились, т.е. треугольники совпали и потому они равны, а теорема доказана.

Сделаем выводы из этой теоремы. Но сначала определим: треугольник называют прямоугольным, если один из его углов – прямой (т.е. равен $180^o$ , рис.18). В нём стороны прямого угла называют катетами, а третью сторону – гипотенузой.

Теорема 2. В прямоугольном треугольнике углы (кроме прямого) – острые, их сумма равна $90^o$ ; его площадь равна половине произведения длин его катетов.

Доказательство. Пусть прямоугольник имеет длины сторон равные длинам катетов прямоугольного треугольника. Обозначим эти длины буквами $a$ и $b$ (рис.19). Диагональ BD прямоугольника $ABCD$ делит его на два прямоугольных треугольника $\Delta ABD$ и $\Delta BCD$ . Они равны по двум катетам и углу в $90^o$ между ними. Следовательно их площади равны, обозначим площадь кажДого буквой $S$ . Площадь всего прямоугольника равна сумме площадей этих прямоугольных треугольников: $ab=2S$ т.е. $S=\frac12 ab$ . Далее, (рис.19), углы DBC и CDB – острые;

DBC+

ABD= $90^o$ ; но из равенства прямоугольных треугольников (наложите один на другой) получаем, что

BDC=

ABD так что (заменив слагаемое) получаем:

DBC +

BDC= $90^o$ .

Теорема 3 (Пифагора). Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Обозначим длины катетов буквами $a$ и $b$ , а длину гипотенузы – буквой $c$ (рис.20). По рисунку видно: все треугольники равны, для их углов $\alpha$ и $\beta$ доказано, что $\alpha + \beta = 90^o$ . Тогда, тонированная фигура – квадрат т.к.все её углы равны $180^o-(\alpha + \beta)=90^o$ и длины всех сторон равны $c$ и потому его площадь равна $c^2=(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$ . Теорема доказана.

Для черчения кроме линейки пользуются ещё чертёжным треугольником (рис.21, его коротко называют – угольник.), один его угол $90^o$ , а его стороны можно назвать катетами. С его помощью рисуют прямые углы и прямоугольные треугольники.

Встречается часто задача: задан отрезок АВ и точка С – нарисовать отрезок ЕС так, что угол СЕА равен $90^o$ . Отрезок СЕ называют перпендикуляром к отрезку АВ и пишут СЕ $\perp$ АВ, знак $\perp$ заменяет слово «перпендикуляр». Её решение с линейкой и угольником (он «скользит» по линейке одним катетом) ясно из рис.22.

Для любого треугольника из любой его вершины можно провести отрезок AЕ $\perp$ СВ (рис. 23 и 24, где ВЕ – продолжение СВ). Его называют высотой этого треугольника, а его длину обозначают буквой h и тоже называют высотой треугольника.

Теорема 4. У любого треугольника сумма его углов равна $180^o$ .

Для прямоугольного треугольника это уже доказано. Проведём в треугольнике АВС высоту АЕ (рис.23 и 24) и обозначим углы как это показано на рисунках. На рис.23 в треугольниках – углы с вершиной Е – прямые. Тогда $\alpha+\gamma=90^o$ и $90^o\beta+\phi$ так что $\alpha+\gamma+\beta+\phi=180^o$ . А т.к. $\alpha+\gamma=$

A, то

A+ $\beta+\phi=180^o$ . Для случая на рис.23 теорема доказана. Для случая на рис.24 в прямоугольном $\Delta ACE$ угол $C=180^o-\phi$ и потому $90^o$ =

С+ $\beta=180^o-\phi+\beta$ откуда $\phi-\beta=90^o$ . А в прямоугольном $\Delta ABE$ угол $A=\alpha+\beta$ и потому $90^o=\alpha+\beta+\gamma$ . Следовательно, в $\Delta ABC$ сумма его углов $\alpha+\gamma+\phi=(\alpha+\beta+\gamma)+(\phi-\beta)=90^o+90^o=180^o$ . Теорема доказана.

Теорема 5. Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на длину стороны, которой перпендикулярна эта высота.

Доказательство. На рис.23 высота АЕ перпендикулярна стороне ВС. Её длина $a$ равна сумме длин отрезков СЕ и ВЕ их длины обозначим $p$ и $q$ , т.е. $a=p+q$ . Треугольник АВС есть объединение прямоугольных треугольников АСЕ и АВЕ и потому $S$ - площадь $\Delta ABC$ равна сумме: $\frac12 hp$ - площадь $\Delta ACE$ и $\frac12 hq$ – площадь $\Delta ABE$ , т.е.

$S=\frac12 hp+\frac12 hq=\frac12h(p + q) = \frac12ha$ .

Для случая на рис.23 теорема доказана.

На рис.24 высота АЕ имеет точку Е на продолжении стороны АВ. Прямоугольный $\Delta ABE$ есть объединение прямоугольного $\Delta ACE$ и $\Delta ABC$ и потому его площадь равна сумме площадей $\Delta ACE$ и $\Delta ABC$ . Следовательно, сохраняя предыдущие обозначения,

$\frac12 hq = \frac12 hp + S$ откуда $S = \frac12 hq - \frac12 hp = \frac12h(q - p) = \frac12 ha$ .

Теорема полностью доказана.

Прямоугольные треугольники имеют замечательное свойство – это основа многочисленных приложений тригонометрии.

Теорема 6. Пусть в $\Delta ABC$ и $\Delta MKN$ углы C и M – прямые (рис.25). Тогда, если угол A равен углу K, то СВ:АB=NM:NK.

Коротко говорят: отношение катета к гипотенузе определено величиной угла и не зависит от размеров треугольника. На рис.25 для $\Delta ABC$ отношение ВС:АB называют синусом угла А и обозначают $\sin A$ , т.е. $\sin A=BC:AB$ по определению синуса угла, а для $\Delta KMN$ по тому же определению $\sin K=NM:KN$ .

Отметим ещё: $0<\sin \alpha <1$ так как (см.рис.20) $\sin \alpha =a/c$ , а из формулы теоремы Пифагора ясно, что $0<a<c$ и неравенство доказано.

Доказательство теоремы 6. Поскольку углы А и К равны, то их можно совместить. Сделаем это так, как показано на рис.26. Проведём отрезок NB. Для $\Delta NBA$ отрезок ВС есть высота и потому его площадь $S=\frac12 BC\cdot NK$ . Но MN тоже высота этого же треугольника и потому $S=\frac12 MN\cdot AB$ . Это приводит к равенству $BC\cdot NK=AB\cdot MN$ откуда, поделив обе части равенства на AB и NK, получаем BC:AB = MN:NK. Теорема доказана.

Одно из практических приложений этой теорему – вычисление расстояний до недоступных объектов. Из рис.27 ясно, что если угол С прямой, а недоступный объект в точке А и длина СВ известна, то $AB=CB:\sin A$ . Таблицы синусов вычислялись уже более двух тысячелетий. Поэтому приведённая формула решает поставленную задачу.

Теорема 7. Площадь треугольника равна половине произведения длин его сторон на синус угла между ними.

Доказательство. Из рис.23 и 24 видим: высота треугольника отрезок $AE=AB\sin\gamma$ . А его площадь $S=\frac12 BC\cdot AE=\frac12 BC\cdot AB\sin\gamma$ .

Встречаются случаи, когда нет возможности организовать поиск расстояния до недоступного объекта А как на рис.27 – получается только рис.28 и ВС известно. Решение этого случая получается из теоремы синусов.

Теорема 8. В треугольнике ABC выполнено равенство $AB:AC=\sin C:\sin B$ .

Доказательство. Записываем площадь треугольника двумя способами: $S=\frac12 AB\cdot BC\sin B=\frac12 BC\cdot AC\sin C$ откуда, поделив обе части на $\frac12 AC\cdot BC\sin B$ , получаем формулу теоремы.

Из этой теоремы для рис.28 находим: $AB:BC=\sin C:\sin A$ откуда $AB=BC\sin C:\sin A$ . Угол А тоже находим измерив углы В и С. Тогда

А = $180^o$ -

В -

С.

Доказанные теоремы позволяют обнаружить интересный факт:

Теорема 9. Если углы АСВ и ЕВС – прямые (рис.29), то отрезки АС и ВЕ при любом продолжении не пересекутся.

Доказательство. Предположим, что продолжение этих отрезков пересечётся в некоторой точке Н. Тогда сумма углов $\Delta HCB$ больше $180^o$ что невозможно. Следовательно сделанное предположение неверно – пересечения быть не может.

Отрезки NM и KL, которые лежат на плоскости и не пересекаются при любом их продолжении, называют параллельными и пишут $NM\paral KL$ , читается «NM параллелен KL».

Сформулируем признак параллельности двух отрезков:

Теорема 10. Для параллельности двух отрезков необходимо и достаточно, чтобы при пересечении их третьим отрезком выполнялось равенство $\alpha=\beta$ (рис.30).

Углы на рис.30 называют внутренними накрест лежащими.

Доказательство проще начать со случая $\alpha=90^o$ .

1) Пусть $\alpha=\beta=90^o$ (рис.31) тогда $MN\perp MK$ и $KL\perp MK$ и потому $MN\paral KL$ (по теореме 9). Этим достаточность условия $\alpha=\beta=90^o$ для параллельности отрезков доказана.

2) Пусть $MN\paral KL$ и $\alpha=90^o$ . Докажем, что тогда и $\beta=90^o$ . Предположим, что $\beta < 90^o$ . Тогда проведём $KP\perp MK$ (рис.32), $MN=KP$ . По аксиоме Саккери $MK=NP$ и

P = $90^o$ . Из прямоугольного $\Delta KLP$ получаем:

$LP=|KL|\sin (90^o-\beta)>|KP|\sin (90^o-\beta)$ .

Но KP можно взять столь большим, что получим LP > NP (рис.33) – KL пересекает MN что противоречит условию их параллельности. Это противоречие показывает, что сделанное предположение $\beta<90^o$ неверно. Поэтому $\beta\ge 90^o$ . Но предположение $\beta >90^o$ тоже неверно т.к. тогда угол $\gamma=180^o -\beta <90^o$ (рис.34) доказано выше). Остаётся только $\beta=90^o$ . Итак, при $\alpha=90^o$ для параллельности отрезков необходимость условия $\alpha=\beta$ доказана. Из 1) и 2) следует: теорема доказана при $\alpha=90^o$ .

Переходим к доказательству случая $\alpha <90^o$ . Пусть $MN\paral KL$ . Проведём $NP\perp KL$ тогда

P= $90^o$ и $\phi+\alpha=90^o$ (рис.35, случай разобран), из прямоугольного $\Delta NKP$ следует: $\phi+\beta=90^o$ откуда $\beta=90^o -\phi =\alpha$ (рис.35). Этим доказана необходимость условия $\alpha=\beta$ для параллельности отрезков.

Теперь пусть $\alpha=\beta$ . Проведём $NP\perp KL$ , тогда

P= $90^o$ и из $\Delta NKP$ (прямоугольного) следует: $\phi+\beta=90^o$ откуда $\phi+\alpha=90^o$ , $NM\perp NP$ (рис.35). Следовательно, по теореме 9, $MN\paral KL$ . Этим доказана достаточность условия $\alpha=\beta$ для параллельности отрезков ( $\alpha <90^o$ ). Если же $\alpha >90^o$ , то (рис.36) $\phi <90^o$ и потому для параллельности отрезков необходимо и достаточно равенство $\phi=\gamma$ , влекущее $\alpha=\beta$ . Теорема полностью доказана.

Теорема 11. При пересечении угла парой параллельных отрезков на его сторонах отсекаются пропорциональные отрезки.

Угол АОВ пересекают параллельные отрезки АВ и СЕ (рис.37, где по теореме отмечены равные углы). Из $\Delta AOB$ по теореме синусов $OA:OB=\sin \beta :\sin \alpha$ , а из $\Delta COE$ - аналогично $OC:OE=\sin \beta :\sin \alpha$ . Следовательно ОА:ОВ=ОС:ОЕ откуда ОА:АС=ОВ:ВЕ.

Кроме синуса угла тогда же были определены косинус угла и тангенс угла (рис.38): $tg A=a:b=\sin A:\cos A$ . и $\cos A=b:c$

Теорема 12. $\sin^2 A+\cos^2 A=1,\quad tg^2 A+1=1:\cos^2 A$

Доказательство. По теореме Пифагора $a^2 +b^2 =c^2$ . Поделив на $c^2$ получаем $1=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\sin^2 A+\cos^2 A$ и первая формула доказана. Докажем вторую:

$tg^2 A+1=\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}+1=\frac{\sin^2 A+\cos^2 A}{\cos^2 A}=\frac{1}{cos^2 A}$ .

Теорема 13. $\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta$ .

Доказательство. По рис.39 видно, что площадь $\Delta OAC$ равна сумме площадей $\Delta OAB$ и $\Delta OBC$ , длины отрезков написаны по определению косинуса и тангенса. Тогда: $\frac12 (1/ \cos \alpha)(1/ \cos \beta)\sin (\alpha+\beta)=\frac12 tg \alpha + \frac12 tg \beta$ откуда $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta$ , после деления первого равенства на $\frac12 (1/ \cos \alpha)(1/ \cos \beta)$ .

Теорема 14. Если $\alpha <\beta$ , то $\sin\alpha<\sin\beta, \quad tg\alpha<tg\beta, \quad \cos\alpha>\cos\beta$ и обратно (рис.40).

Коротко говорят: с увеличением угла синус и тангенс увеличиваются, а косинус уменьшается.

Доказательство. На рис.40 у прямоугольного треугольника «вертикальный» катет равен 1 и указаны тангенсы углов. По рисунку ясно неравенство для тангенсов. Далее,

$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+tg^2\alpha}}>\frac{1}{\sqrt{1+tg^2\beta}}=\cos\beta$ ,

$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2 \alpha}<\sqrt{1-\cos^2 \beta}=\sin\beta$

Из теорем 14 и 8 следует:

Теорема 15. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона и обратно.

Доказательство. В треугольнике на рис.41 угол $\alpha <\beta$ . Докажем, что $a <b$ . По теореме 8 $a:b=\sin\alpha :\sin\beta$ и потому $a=b\sin\alpha :\sin\beta<b$ поскольку $\sin\alpha <\sin\beta$ . И обратно, если $a <b$ , то приведенное выше равенство из теоремы 8 даёт: $\sin\alpha=\sin\beta\cdot a:b<\sin\beta$ и потому $\alpha <\beta$ .