Сколько теорем должно быть в учебнике? (продолжение)

Весной этого года в разделе “Избранные задачи. Планиметрия” была размещена статья Сколько теорем должно быть в учебнике? Приведем ее содержание. “На наш сайт поступила такая задача:

Окружность, вписанная в треугольник, касается его сторон AB, BC и CA в точках M, N и K соответственно. Докажите, что

$AM=p-BN-CK\qquad \qquad \qquad (1)$

где p - полупериметр треугольника ABC.

Решение задачи несложное. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем три пары равных отрезков:

$AM=AK=a,\quad BN=BM=b,\quad CK=CN=c$

В данных обозначениях требуемое в задаче равенство (1) принимает вид

$a=\frac{(a+b)+(b+c)+(a+c)}{2}-b-c\qquad \qquad \qquad (2)$

и, очевидно, является верным. Задача решена.

Но обратившаяся к нам школьница и не просила помощи в решении этой задачи! Присланный вопрос был непривычным, можно сказать, необычным: почему утверждение этой задачи не входит в школьный учебник как теорема?

Вспомним коротко, как строится курс геометрии. Вначале рассматриваются первичные неопределяемые понятия. В планиметрии – это точки и прямые. Затем формулируются аксиомы – утверждения, которые связывают свойства точек и прямых. Самое важное состоит в том, что аксиомы не доказывают. Пример аксиомы: через любые две точки проходит прямая линия и притом ровно одна. Следующий шаг состоит в доказательстве теорем. Теорема – это следствие из аксиом и из других, ранее доказанных теорем, которое получается в соответствии с правилами логики. Наряду с теоремами в учебниках присутствуют утверждения, которые не получили статуса настоящих теорем, их называют вспомогательными теоремами, или леммами. Любая верное утверждение вытекает из аксиом и ранее доказанных теорем. При этом не все такие заключения именуют теоремами. Порой их называют следствиями из теоремы. Примеры всего сказанного легко найти в любом школьном учебнике по геометрии.

Чем определяется набор теорем в учебнике геометрии? Назовем лишь некоторые основания для такого выбора. Планиметрию изучают в школе три года. В неделю бывает обычно два урока. Сколько теорем, то есть какую информацию может усвоить и освоить школьник за это время? Кроме того, на основании многолетнего опыта обучения геометрии в школе выделили некоторый перечень обязательных, важных, ключевых теорем. В элементарной геометрии – огромное количество теорем. Но не о всех теоремах рассказывают школьные учебники. Как не вспомнить Козьму Пруткова – никто не обнимет необъятного! При этом не малую роль играют и традиции в преподавании.

Видимо, задача, о которой идет речь, понравилась нашему собеседнику. Отсюда – желание отнести ее к когорте теорем. Но много ли полезных следствий, помогающих в решении других задач, получается из этой задачи? Пожалуй, нет. Но снова скажем, что здесь много субъективного. Например, автору кажется важным следующее утверждение: основания высот, проведенных из двух вершин треугольника, и третья вершина треугольника образуют треугольник, который подобен данному. Почему важным? - Этот факт оказывается очень полезным при решении многих планиметрических задач из сборников для подготовки к ЕГЭ-2010! Еще один кандидат на звание теоремы…

Надо сказать, что наряду с традиционными учебниками по математике, в которых приведены доказательства всех теорем, имеются учебные пособия, в которых тот или иной раздел математики представлен именно в задачной форме. Например, студентам-математикам адресованы книги “Общая топология в задачах и упражнениях”, “Конечномерный линейный анализ в задачах” и другие. В таких книгах каждая теорема представлена задачей или цепочкой задач.”

Заметим, что равенство (2) допускает такую краткую, но понятную формулировку: в треугольнике с вписанной окружностью отрезки равных касательных равны полупериметру минус противолежащая сторона, то есть

$a=p-b-c \qquad \qquad \qquad (3)$

Весной автор полагал, что из этого утверждения получается не много полезных следствий. Время показало, что это не так! Оказалось, что формула (3) играет ключевую роль при решении геометрической задачи С4 из ЕГЭ-2010…

Рассмотрим такую задачу.

В выпуклом четырехугольнике ABCD известны длины всех сторон: AB = 5, BC = 15, CD = 12, DA = 10. Окружности, вписанные в треугольники ABC и СDA, касаются диагонали четырехугольник AC в точках M и N соответственно. Найдите длину отрезка MN.

Конечно, четырехугольник заданием своих сторон однозначно не определяется, эта фигура нежесткая. Для решения обозначим длину диагонали AC через d и применим вышесказанное утверждение о длине отрезка касательной к двум треугольника с вписанными окружностями.

В треугольнике ABC для отрезка AM согласно (3) имеем

$AM=\frac{5+15+d}{2}\qquad\qquad\qquad (4)$ .

В треугольнике ACD для отрезка AN согласно (3) имеем

$AN=\frac{12+10+d}{2}\qquad \qquad \qquad (5)$ .

Теперь вычтем одно равенство из другого почленно. При этом в правой части величина d уничтожится, а в левой части окажется длина отрезка MN.

Вычитая из (4) равенство (5) получим, что MN=-4. Ясно, что длина отрезка MN равна 4, и это число получается при вычитании из (5) равенства (4).

Итак, рассматриваемая нами задача решена. Ее решение основано формуле (3). Как эта формула получается? – довольно просто. Впишем в треугольник окружность и отметим три пары равных отрезков касательных, которые проведены из вершин треугольника. Вспоминая определение полупериметра, получим равенство

$a+b+c=p$

отсюда

$a=p-b-c$

то есть, как уж говорилось, в треугольнике с вписанной окружностью отрезок касательной равен полупериметру минус противолежащая сторона.

Применив это утверждение к двум треугольникам, мы и решили задачу.

Подобным же образом следовало действовать и при решении реальных задач С6 из ЕГЭ-2010.

Поэт сказал, что

Нам не дано предугадать,
Как наше слово отзовется…

Надеемся, что наш весенний рассказ о формуле (3) запомнился кому-то из читателей консультационного сайта и помог на экзамене. А потому приглашаем на консультационный сайт новых посетителей!

01.11.2010
С.В.Дворянинов