Начала математического анализа в средней (базовой) школе (часть 1)

Ивашев-Мусатов Олег Сергеевич,
доцент механико-математического
факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Учащиеся воспринимают математику весьма различно. Поэтому невозможно предложить единый метод подачи материала. Удобно всех учащихся по их отношению к математике разделить на четыре группы:

любят,
уважают,
терпят (как необходимое зло, без которого невозможно получить аттестат зрелости),
не воспринимают (все усилия учителей здесь практически бесполезны, численность этой группы выявлена ЕГЭ - примерно 20% "неудов" по математике ежегодно).

Всё стандартно предлагаемое в школе (министерские программы и школьные учебники) расчитано на группы 1 и 2. Но в группе 3 это почти не воспринимается.
    Ниже предлагается подход, который был выработан с ориентацией на учащихся 3 группы в ходе преподавания (более 50 лет) и долгих обсуждений с коллегами.
    В литературе было отмечено важное соображение (на которое, к сожалению мало обращают внимание): "...не следует смешивать процесс формирования понятия с задачей усвоения его определения" ("Математика в школе", 1978, №4, с.43-52). Поясню это. Все знают, что такое хлеб, небо, стул, лес и т.п. Эти понятия сформированы у любого человека и нет необходимости в их формальном определении. Точно так же понятие натуральных чисел сформировано очень рано (до школы), как и правила действий с ними (освоенное с помощью счетных палочек), И для подавляющего большинства людей этого совершенно достаточно. А на этом строится всё здание математики, включая высшую. Только ничтожная часть фанатиков-математиков считает нужным проводить еще и аксиоматическое обоснование известного.
    Педагогический опыт подсказывает, что формирование основных понятий математического анализа для учащихся 3-ей группы легче осуществлять на основе наглядного представления о непрерывности.
    Именно, всем понятно, что есть линии, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Таковы прямая, окружность, ломаная, траектория движущейся точки и т.п. Когда, рисуют такую линию движение карандаша по бумаге не прерывается. Поэтому эти линии называют непрерывными,
    Если график функции - непрерывная линия, то и функцию называют непрерывной.
    Например, график линейной функции - прямая и потому линейная функция непрерывна. График функции $y^2=\sqrt{a^2-x^2}$ полуокружность (рис.1). Это непрерывная линия. Следовательно, функция $y^2=\sqrt{a^2-x^2}$ непрерывна. Но тут уже надо дополнительно указывать: "непрерывна на отрезке $[-a;a]$ ", на своей области определения.

Аналогично, функция $y=\frac{1}{x}$ - непрерывна на промежутке $(0,\infty)$ и на промежутке $(-\infty,0)$ - достаточно взглянуть на ее график (рис.2). Про функцию $y=\frac{1}{x}$ нельзя просто сказать "она непрерывна" - необходимо сделать два уточнения про промежутки. Обычно это уточнение делают короче и говорят:"функция $y=\frac{1}{x}$ непрерывна в любой точке $x \neq 0$ .

История развития, науки и техники показала важность понятия непрерывности функции. Например, если сфункция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , а числа $f(a)$ и $f(b)$ разных знаков (рис.3), то из рисунка ясно, что ее график обязательно пересечет ось абсцисс в некоторой точке $c$ т.е. число $c$ есть решение уравнения $f(x)=0$ . В математике этот факт строго доказан (хотя из рисунка он очевиден) и разработаны способы находить это решение с любой точностью. (Конечно, график функции $f$ может пересекать ось абсцисс и в большем числе точек - тогда уравнение $f(x)=0$ будет иметь много корней.)

В математике доказаны основные свойства непрерывных функций:

если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $x_0$ , то в точке $x_0$ непрерывны функции $f+g,\quad f-g,\quad fg,\quad \frac{f}{g}$ (если $g(x_0)\neq 0$ );
сложная функция, образованная из непрерывных функций, тоже функция непрерывная;

основные функции, изучаемые в школе, непрерывны.
    Так, функция $y=x^2$ непрерывна при всех $x$ и потому функции $y=ax$ и $y=ax^2+bx+c$ непрерывны при всех $x$ ; функция $y=x+\frac{1}{x}$ непрерывна при всех $x \neq 0$ ; функция $y=\sqrt[3]{\sin{x}}$ непрерывна при всех $x$ т.к. образована из двух непрерывных функций $y=\sqrt[3]{t}$ и $t=\sin{x}$ .
    При построении графика функции надо находить промежутки ее возрастания и убывания (вспомните по учебнику определения!). Это сводится к определению знака разности $f(x)-f(x_0)$ при любых числах $x$ и $x_0$ из некоторого промежутка $I$ для $x_0 < x$ .
    Проведем соответствующие вычисления для функций $y=kx+b,\quad y=x^2,\quad y=x^3,\quad y=\frac{1}{x},\quad y=\sqrt{x}$ :

$(1) \qquad \qquad \qquad kx+b-(kx_0+b) = (x-x_0)k$ ;
$(2) \qquad \qquad \qquad x^2-{x_0}^2 = (x-x_0)(x+x_0)$ ;
$(3) \qquad \qquad \qquad x^3-{x_0}^3 = (x-x_0)(x^2-xx_0+{x_0}^2)$ ;
$(4) \qquad \qquad \qquad \frac{1}{x}-\frac{1}{x_0} = (x-x_0)\frac{-1}{xx_0}$ ;
$(5) \qquad \qquad \qquad \sqrt{x} - \sqrt{x_0} = (x-x_0)\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}$ .

В этих равенствах множитель $x-x_0>0$ , а потому знак произведения в правых частях определяется знаком второго множителя. Например, в равенстве (3) второй множитель $x^2-xx_0+{x_0}^2=(x+\frac{1}{2}x_0)^2+\frac{3}{4}{x_0}^2>0$ при любых $x$ и $x_0$ следовательно функция $y=x^3$ возрастает на промежутке $(-\infty,+\infty)$ . В равенстве (2) второй множитель $x+x_0 > 0$ при любых $x$ и $x_0$ таких, что $0 \le x_0 < x$ , - значит функция $y=x^2$ возрастает на промежутке $[0,+\infty)$ ; этот множитель $x+x_0<0$ при любых $x$ и $x_0$ таких, что $x<x_0\le 0$ , - значит функция $y=x^2$ убывает на промежутке $(-\infty,0]$ . Равенства (1),(4),(5) проанализируйте самостоятельно.
    Посмотрим еще раз внимательно на равенства (1) - (5). "мы видим, что вторые множители при фиксированном $x_0$ - непрерывные функции от $x$ (какие нужны оговорки?). В математике было выяснено, что в науке и технике фундаментальную роль играют функции, обладающие аналогичным свойством, их называют дифференцируемыми.

    Определение. Функцию $f$ называют дифференцируемой в фиксированной точке $x_0$ , если для всех $x$ из некоторого интервала $(x_0-r, x_0+r)$ выполнено равенство

    $(6) \qquad \qquad \qquad f(x)-f(x_0)=(x-x_0)\phi (x)$ ,

где функция $\phi (x)$ непрерывна в точке $x_0$ . Число $\phi (x_0)$ называют производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначают $f'(x_0)$ , т.е. $f'(x_0)=\phi (x_0)$ .
    (Вообще-то, второй множитель в равенствах (2) - (5) содержит и $x_0$ , но мы считаем $x_0$ фиксированным и потому вторые множители - функции от $x$ . Это и отмечено в определении.)
    Например, в равенстве (2) функция $\phi (x) =x+x_0$ . Это непрерывная в точке $x_0$ функция (линейная функция). Следовательно, функция $f(x)=x^2$ дифференцируема в точке $x_0$ и $f'(x_0)= \phi (x_0) =x_0 + x_0 = 2x_0$ . Поскольку точка $x_0$ - любая, то пишут короче: $(x^2)'=2x$ в любой точке $x$ .
    Получите самостоятельно равенства:
    $(kx+b)'=k$ ;
    $(C)'=0$ , где $C$ - постоянная (число);
    $(x^3)'=3x^2$ ;
    $( \frac{1}{x} )' = \frac{-1}{x^2}$ при любом $x \neq 0$ ;
    $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ при любом $x>0$ .
    Пользуясь равенством (6) и основными свойствами непрерывных функций докажите утверждение: дифференцируемая в точке $x_0$ функция непрерывна в этой точке $x_0$ .
    Пользуясь равенствами (1) - (5), устанавливалась монотонность соответствующих функций на определенных промежутках (вспомните определения!) выясняя знак второго множителя. В общем случае функции $f$ , для которой выполнено равенство (6), это функция $\phi (x)$ по которой определяется производная функции $f$ . В математике доказано, что для выявлении монотонности функции $f$ достаточно исследовать знак $f'(x)=\phi (x)$ .

    Теорема. (достаточный признак монотонности функции).
Если $f' > 0$ на интервале $I$ то функция $f$ возрастает на $I$ . Если $f'<0$ на $I$ то $f$ убывает на $I$ .

    Для того чтобы пользоваться этим правилом, надо уметь вычислять производные суммы, произведения и частного функций.

    Теорема. Если функции $f$ и $g$ дифференцируемы в точке $x_0$ , то в этой точке $x_0$ дифференцируемы их сумма, разность, произведение и частное $\frac{f}{g}$ (если $g(x_0) \neq 0$ ) и
    $(7) \qquad \qquad \qquad (f+g)' = f'+g'$ ;
    $(8) \qquad \qquad \qquad (fg)'=f'g +g'f$
    $(9) \qquad \qquad \qquad (\frac{f}{g})'= \frac{f'g-fg'}{g^2}$ ;
    $(10) \qquad \qquad \qquad (Cf)' = Cf'$ , $C$ - постоянная, т.е. число.
Здесь все функции и производные вычислены в точке $x_0$ .

    Например:
${(5x^2-3x+7)'=(5x^2)'+(-3x+7)'=5\cdot 2x+(-3)=10x-3}$
$(\frac{7x}{3+x^2})' = 7 (\frac{x}{3+x^2})' = 7\frac{x'(3+x^2)-x(3+x^2)'}{(3+x^2)^2} = 7 \frac{1(3+x^2) - x \cdot 2x}{(3+x^2)^2} = 7\frac{3-x^2}{(3+x^2)^2}$
Найдем для примера промежутки монотонности функции $y=\frac{1}{10}(x^3 - 3x^2 - 0x +5)$ . Имеем: $y'=\frac{1}{10} (3x^2 -3 \cdot 2x - 9) = 0,3(x^2-2x-3)$ , $y'<0 \Leftrightarrow x^2-2x-3 < 0 \Leftrightarrow x \in (-1;3)$ .
Следовательно, данная функция убывает на интервале $(-1;3)$ . Далее:
$y'>0 \Leftrightarrow x^2-2x-3>0 \Leftrightarrow x \in (-\infty;-1) \cup (3;+\infty)$ .
Следовательно, данная функция возрастает на промежутке $(-\infty;-1)$ и на промежутке $(3;+\infty)$ . Для построения ее графика остается вычислить $y$ и $x$ при $x=-1$ и $x=3$ ; получим $y(-1)=1$ и $y(3)=-2,2$ . Точки $(-1;1)$ и $(3;-2,2)$ лежат на графике изучаемой функции, и надо рисовать непрерывную линию (функция непрерывна - почему?), проходящую через эти точки, убывающую на $(-1;3)$ и возрастающую на $(-\infty;-1)$ и на $(3;+\infty)$ (рис.4).

    Из графика видно, что на некотором интервале $(-1-r;-1+r)$ график исследуемой функции расположен ниже точки $(-1;1)$ . Точку $-1$ называют точкой максимума заданной функции (повторите но учебнику!). На интервале $(3-r;3+r)$ график функции расположен выше точки $(3;-2,2)$ , $3$ - точка минимума заданной функции. Общее название для этих точек - точки экстремума функции. Заметим, что в этих точках производная заданной функции равна нулю. В математике этот факт доказан в общем случае. Его называют "необходимый признак экстремума":

    Теорема. Если $x_0$ - точка эстремума функции $f$ и существует $f'(x_0)$ , то $f'(x_0)=0$ .

    Эта теорема говорит о том, что точки экстремума дифференцируемой функции надо искать только среди тех значений аргумента, при которых ее производная обращается в нуль. Приведем пример задачи, решение которой опирается на эту теорему. Общее название подобных задач - задачи на экстремум.

    Задача. Из квадратного листа железа со стороной 4 дм. делается коробка без крышки (рис.5). Можно ли получить коробку, вмещающую 5 литров воды?

    По указанным на рис.5 размерам вычисляем объем коробки $V=\frac12 x^2(4-x)$ . Это дифференцируемая функция от $x$ . Ее наибольшее значение может быть только там, где $V'=0$ , то есть для тех $x$ , при которых $V'=\frac{x}{2}(8-3x)=0$ .
Это $x=\frac83$ ; при таком $x$ и получаем наибольший объем коробки.
$V_0 = (\frac83)^2(4-\frac83)\frac12 = \frac{128}{27} < 5$ .
(для проверки нарисуйте график функции $V=\frac12 x^2(4-x)$ на отрезке $[0;4]$ ). Следовательно, объем получающейся коробки в любом случае меньше 5 куб. дм. или 5 л.
    Проведем доказательства правил дифференцирования (7) - (10). Пусть $C$ - постоянная (т.е.число); напишем для функции $Cf$ аналог равенства (6):
$Cf(x)-Cf(x_0)=C(f(x)-f(x_0))=C(x-x_0) \phi (x) = (x-x_0)(C \phi (x))$ .
Но функция $\phi$ непрерывна в точке $x_0$ т.к. функция $f$ дифференцируема в $x_0$ . Поэтому функция $Cf$ непрерывна в точке $x_0$ и дифференцируемость функции $Cf$ в точке $x_0$ доказана. По определению производной функции $Cf$ в точке $x_0$ она равна $C \phi (x_0) = Cf'(x_0)$ (т.к. $\phi (x_0)=f'(x_0)$ по определению). Этим формула (10) доказана.
    Для доказательства формул (7) - (9) надо и для функции $g$ написать аналог равенства (6) (т.к.функция $g$ дифференцируема):

$(11) \qquad \qquad \qquad g(x)-g(x_0)=(x-x_0) \psi (x)$

где функция $\psi$ непрерывна в точке $x_0$ . В силу дифференцируемости (по условию) функции $g$ в точке $x_0$ . Кроме того, $g'(x_0)= \psi (x_0)$ по определению производной.
    Для доказательства первой из формул (7) выписываем аналог равенства (6) для суммы $f+g$ :
$(f(x)+g(x))-(f(x_0)+g(x_0))=(f(x)-f(x_0))+(g(x)-g(x_0))= \\ =(x-x_0)\phi (x) +(x-x_0)\psi (x)=(x-x_0)(\phi (x)+\psi (x))$
Но функция $\phi + \psi$ непрерывна в точке $x_0$ (и $\phi$ и $\psi$ непрерывны в точке $x_0$ ). Этим доказана дифференцируемость суммы $f+g$ в точке $x_0$ . При этом, в точке $x_0$ производная суммы $f+g$ по определению равна $\phi (x_0) + \psi (x_0) = f'(x_0)+g'(x_0)$ . Этим формула $(f+g)'=f'+g'$ доказана.
    Коротко говорят: "производная суммы равна сумме производных".
    Правило для вычисления производной разности (вторая формула в (7)) и производная суммы нескольких функций докажите самостоятельно.
     Для доказательства формулы (8) запишем очевидное равенство:
$f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)=(f(x)-f(x_0))g(x)+f(x_0)(g(x)-g(x_0))$ .
Тогда, для функции $F(x)=f(x)g(x)$ получаем (см. (6) и (11)):
$F(x)-F(x_0)=(f(x)-f(x_0))g(x)+f(x_0)(g(x)-g(x_0))= \\ =(x-x_0)(\phi (x)g(x)+f(x_0)\psi (x_0))=(x-x_0)\Phi (x)$
Поскольку функция $\Phi (x)$ непрерывна в точке $x_0$ (почему?), то дифференцируемость функции $F$ в точке $x_0$ доказана. При этом
$F'(x_0)=\Phi (x_0)=\phi (x_0)g(x_0)+f(x_0)\psi (x_0) = f'(x_0)g(x_0)+ f(x_0)g'(x_0)$ .
Формула (8) доказана.
    Прежде чем доказывать формулу (9) покажем, что существует $(\frac{1}{g})' = \frac{-g'}{g^2}$ , где функция и производные вычислены в точке $x_0$ . Действительно (см.(11)):
$\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}=\frac{g(x_0)-g(x)}{g(x)g(x_0)} = \\ =\frac{-(x-x_0) \psi (x)}{g(x)g(x_0)}=(x-x_0)(\frac{-\psi (x)}{g(x)g(x_0})$
Но коэффициент $\frac{-\psi (x)}{g(x)g(x_0}$ непрерывная в точке $x_0$ функция (почему?). Этим доказана дифференцируемость в точке $x_0$ функции $\frac{1}{g}$ . А ее производная в точке $x_0$ по определению равна $\frac{-\psi (x_0)}{g^2(x_0)} =\frac{-g'(x_0)}{g^2(x_0)}$ . Формула доказана. После этого легко доказать формулу (9), пользуясь тем, что $\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}$ и поэтому $(\frac{f}{g})' = f' \frac{1}{g}+f(\frac{1}{g})' = \frac{f'}{g}+f \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-fg'}{g^2}$ .

Упражнения.

1. Температура в комнате и атмосферное давление - функции от времени. Эти функции непрерывны?
2. Сколько решений у уравнения $x^3+5=3x^2+3x$ ? (см. Рис.4)
3. Из прямоугольного листа железа делается коробка без крышки,
а) если стороны листа 15 и 8 (см) можно ли сделать коробку вмещающую 0,1 л?
б) если стороны листа 15 и 24 (см) можно ли сделать коробку вмещающую 0,7л (а вмещающую 0,75л)?
4. В точке А расположен громкоговоритель, в точке В - восемь таких же громкоговорителей. В какой точке отрезка АВ шум от них наименьший?
5. Из всех цилиндров заданного объема найти цилиндр наименьшей полной поверхности. Каково у него осевое сечение?
6. В полукруг вписать прямоугольник с основанием на диаметре и наибольшей площади.
7. В конус вписать цилиндр с основанием на основании конуса и с наибольшим объемом.
8. Построить графики функций, найдя промежутки их монотонности:
а) $y=x+ \frac{1}{x}$
б) $y= \frac{6(x-1)}{3+x^2}$