День Победы и немного математики

С.Дворянинов

    Накануне майских праздников мне довелось побывать в Москве. Приезд в столицу не обходится без посещения замечательного магазина “Математическая книга” в Московском Центре непрерывного математического образования ( http://biblio.mccme.ru/ ) который находится в районе метро “Кропоткинская”.
    На обратном пути в одном из арбатских переулков обратил внимание на мемориальную доску: в этом доме жил народный художник Е.В.Вучетич...
    Герой труда Вучетич в героико-символических образах отразил подвиг нашего народа в Великой Отечественной войне. Среди его творений памятник-ансамбль воинам Советской Армии в Трептов-парке в Берлине, знаменитая скульптура Матери-Родины на Мамаевом Кургане на месте Сталинградской битвы. Всякий подъезжающий на поезде, или плывущий по Волге на теплоходе, издалека видит этот величественный монумент. По мере движение кажется, что скульптурная фигура поворачивается, словно паря в воздухе, дух замирает от воплощенного величия и мощи… Потом уже, после первого впечатления, начинает поражать и техническое воплощение памятника, колоссальные размеры и вместе с тем гармоничная пропорциональность во всех деталях.
    Экскурсовод может рассказать и об уникальных инженерных решениях, использованных при сооружении монумента. Но художественное воплощение замысла столь совершено и его эмоциональное воздействие столь сильно, что даже после всех объяснений устойчивость этого огромного сооружения кажется непостижимой и парадоксальной…
    Но творение великого мастера действительно устойчиво! Это сродни оптической иллюзии, в это трудно поверить, но центр тяжести всей многотонной конструкции проецируется внутрь ее основания. При этом вся скульптура механически не связана с постаментом, она стоит на нем подобно тому, как изящная статуэтка покоится на письменном столе…
    Но все удивительное очень часто имеет простое материальное объяснение, иногда и соответствующий математический расчет несложен.
    В связи с этим расскажем сейчас об одном старом парадоксе, или об одном удивительном математическом факте. Факт этот не новый, известен с незапамятных времен, в разных книжках о нем говорится. Но подрастают новые поколения любителей математики, а старые книжки при этом ветшают и куда-то исчезают, потому и появляется оправданная необходимость вновь и вновь возвращаться к классическим темам научно- популярной литературы.
    Итак, рассмотрим очень простую конструкцию - стопку сложенных книг. Или же возьмем несколько костяшек домино и начнем выкладывать их на столе одну на другую. При этом каждую, начиная со второй, будем чуть сдвигать по отношению к предыдущей. Самую нижнюю назовем основанием. Будем считать, что длина доминошки равна 1, весит доминошка - …. это на важно на самом деле, но будем считать для определенности, что весит она m (граммов или миллиграммов, или тонн – не важно). Ясно, что если доминошек всего две, то верхнюю можно сдвинуть по отношению к основанию на 0,5 (рис.1). Центр тяжести верхней доминошки располагается в точности над самым краем основания.

На рис.1 длина отрезка $CK$ равна $\frac{1}{2}$ . Ясно, что на верхнюю доминошку можно положить любое количество других доминошек, но сдвинуть их теперь вправо нельзя. Тем самым увеличить “нависание” нашей конструкции таким простым образом невозможно. Попробуем поэтому поместить эту конструкцию из двух доминошек на третью. При этом центр тяжести этих двух доминошек следует разместить над крайней правой точкой нового основания, как показано на рис.2.

Каким же теперь окажется нависание нашей конструкции? – рис. 3

Заметим следующее: центр тяжести системы из двух верхних доминошек находится в центре симметрии соответствующей геометрической фигуры. Отсюда легко следует, что расстояние от этого геометрического центра по горизонтали до крайней левой точки (и, что то же самое, до крайней правой точки $K$ ) равно $\frac12 +\frac14$ . Это число и характеризует степень нависания конструкции из трех доминошек. Замечательно, что это больше того, что было вначале для двух.
Продолжим наш процесс подведения нового основания под уже имеющиеся у нас сооружения и будем использовать 4 доминошки.
В этом случае для устойчивости центр тяжести системы из трех доминошек должен находиться над крайней правой точкой нового основания. Найдем теперь горизонтальную координату этого центра тяжести (рис.4). Пусть конструкция из трех доминошек, имеющая единственную точку опоры $O$ , находится в равновесии.

Обозначим расстояние $OB$ через $x$ , тогда расстояние $AO=1-x$ .
Масса части доминошки пропорциональна длине этой части. Поэтому масса части $AO$ равна $mx$ , масса части $OB$ равна $m(x-1)$ . В результате приходим к уравнению

                                    $m(1-x) \cdot \frac{1-x}{2}=mx \cdot \frac{x}{2}+2mx$ .

(Подумайте, почему слева и справа в этом равенстве появился множитель $\frac12$ ).
После сокращения на $m$ легко найти $x=\frac16$ . Следовательно, четвертую доминошку следует расположить так, чтобы ее правый конец совпадал с точкой $O$ . При этом для случая 4-х доминошек нависание конструкции равно $\frac12 +\frac14 +\frac16$ .
    Наверное, о существующей здесь закономерности уже можно догадаться: если использовать в подобной ступенчатой конструкции $n+1$ доминошку, то крайняя правая точка самой верхней доминошки (точка $K$ ) удалится от основания на расстояние

$S_n = \frac12 + \frac14 +\frac16 + ... +\frac{1}{2n} \qquad \qquad \qquad (1)$

    Докажем равенство $(1)$ методом математической индукции. Мы уже убедились, что формула $(1)$ верна при $n=1, \quad n=2, \quad n=3$ . Предположим, что равенство $(1)$ является верным при некотором $n=k$ , то есть

$S_k = \frac12 + \frac14 +\frac16 + ... +\frac{1}{2k} = \frac12(1+ \frac12 +\frac13 +...\frac{1}{k})  \qquad \qquad (2)$

Это предположение означает, что в конструкции из $k+1$ доминошки крайняя правая точка верхней доминошки отстоит от основания на расстояние $S_k$ . Теперь под этой лесенкой из $k+1$ доминошек поместим еще одну – новое основание. При этом правый край этой нового основания поместим точно под центром тяжести уже имеющейся лесенки. В результате новая лесенка из $k+2$ доминошек падать не будет. Теперь выясним, где находится центр тяжести конструкции, количество доминошек в которой равно $k+1$ . Схематично эта конструкция изображена на рис.5. Здесь маленький лиловый прямоугольник представляет лесенку из $k$ доминошек с общей массой $km$ . При этом надо помнить, что крайняя правая точка удалена от точки $B$ вправо на расстояние $S_k$ .

Как и на рис.4, будем считать, что $OB=x$ , $AO=1-x$ . Масса части $AO$ нижней доминошки равна $mx$ , масса части $OB$ равна $m(1-x)$ . В результате приходим к уравнению

$m(1-x) \frac{1-x}{2} = mx \frac{x}{2} +kmx$

Из этого уравнения легко находим $x=\frac{1}{2(k+1)}$ .
Теперь крайняя правая точка $K$ лесенки из $k+1$ соломинок оказывается смещенной вправо относительно точки $O$ на расстояние $S_k + \frac{1}{2(k+1)}$ . Это число и определяет новое значение нависания. Следовательно, формула $(1)$ оказывается верной и при $n=k+1$ .
    Согласно принципу математической индукции равенство $(1)$ является верным при любом натуральном $n$ .
    Ну и что? – скажет наш скептический Читатель, эка невидаль – получена конкретная формула $(1)$ в некоторой конкретной задаче. Мало ли разных формул есть. Да и сама по себе формула $(1)$ вдобавок не очень-то красивая – сумма дробей. Если дробей не очень много, то сумму легко найти. А если дробей много? Какой там наименьший общий знаменатель получится? Считать замучаешься.
    Да, верно. Для суммы $S_n$ , определяемой формулой $(1)$ нет простой, и при этом точной и короткой формулы. Но как раз это нам и неважно, и даже не интересно. А интересно совсем другое.
    Давайте оставим на время наше строительство и рассмотрим такую ситуацию. Предположим, вы получили целую конфету, потом половину конфеты, потом треть конфеты, потом четверть, потом пятую часть, и так далее. Конечно, здесь нельзя сказать и так далее, до бесконечности. Бесконечно много шагов в реальной жизни сделать нельзя. Но смысл ситуации понятен. Так вот вопрос: как вам кажется – сколько в итоге у вас этих самых конфет наберется? Конечно, целых конфет не будет, какие-то крошки конфетные будут, но смысл вопроса понятен: сколько конфет по весу у вас наберется? Одна? Две? Десять?
    Ответ может шокировать, но он таков: по весу у вас может оказаться сколь угодно много конфет! Да-да, сколь угодно много! Такими крошечными крошками можно набрать и 10, и 100, и 1.000.000 конфет!
    Не верите? Ваши сомнения нам понятны. Это как раз и есть тот парадокс, о котором мы хотим вам рассказать.
    Итак, теперь будем говорить о конфетных крошках, вес каждой крошки равен $\frac{1}{k}$ , где $k$ - натуральное число.
    Давайте возьмем три самые большие части. Так как

$\frac12 + \frac13 + \frac14 > \frac12 + \frac14 + \frac14 = 2 \cdot \frac12$ ,

то они составляют больше двух половинок (здесь удобнее считать половинки конфет, а не целые конфеты).
    Затем возьмем семь первых самых больших частей. Очевидно, что

$\frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18 = \\ = (\frac12 + \frac13 + \frac14) + (\frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18) > \\ > 2 \cdot \frac12 + (\frac18 + \frac18 + \frac18 + \frac18) = 3 \cdot \frac12$ ,

поэтому эти крошки составляют больше трех половинок.
    Затем возьмем пятнадцать первых самых больших крошек. Очевидно, что

$\frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18 + \frac19 + ... + \frac{1}{16} = \\= (\frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18) + (\frac19 + ... + \frac{1}{16}) > \\ > 3 \cdot \frac12 + (\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + ... + \frac{1}{16}) = \\ = 3 \cdot \frac12 + 8 \cdot \frac{1}{16} = 4 \cdot \frac12$ ,

поэтому эти крошки составляют больше четырех половинок.
Легко понять, что если взять $2^k -1$ самых крупных крошек, то их суммарный вес будет больше, чем вес $k$ половинок.
На языке неравенств это означает, что для любого натурального $k \ge 2$

$S_{2^k - 1} > k \cdot \frac12$

    Итак, для любого натурального числа $m$ среди всех сумм $S_n$ найдутся такие, которые больше, чем $m \cdot \frac12$ . Стало быть, получая такие конфетные крошечки, можно набрать конфет сколь угодно много!
    А что означает это вывод для конструкции из доминошек? А то, что используя все большее и большее количество доминошек, можно получить конструкцию со сколь угодно большим нависанием.
    Конструкция и ситуация получаются действительно парадоксальные: без единого гвоздя получается лесенка, неограниченно простирающаяся вправо!!
    Сооружение получается поистине удивительным: если представить подобную конструкцию из железобетонных плит, то в конце концов (см.рис.6) эти плиты будут представляться парящими в небе над головой!

    Напомним, что мы приняли длину доминошки за единицу. В этой конструкции самая верхняя доминошка считается первой, вторая сверху – второй, и так далее. При этом вторая доминошка смещена относительно первой влево на $\frac12$ , третья относительно второй – на $\frac14$ , четвертая относительно третьей – на $\frac16$ , и так далее: $k$ -я доминошка смещена влево относительно предыдущей на расстояние $\frac{1}{2(k-1)}$ .
    Снова отметим, что если соорудить подобную конструкцию из нескольких доминошек, то сверху уже ни одной новой доминошки положить нельзя и более увеличить удаление точки $K$ от основания нельзя. Если вознамерится это расстояние увеличить, то следует заранее провести расчет и определить необходимое количество доминошек, обеспечивающих требуемое удаление, или, другими словами, нависание.
    В связи с этим вспомним высказывание одного философа, сказавшего примерно следующее: самый плохой архитектор отличается от пчелы тем, что прежде чем построить здание из камня, архитектор строит его в своей голове, в своем сознании…
    Вот и финал нашего небольшого рассказа, к которому привела мемориальная доска, увиденная накануне Великого Дня Победы.