Начала математического анализа в средней (базовой) школе (часть 2)

Начала математического анализа в средней (базовой) школе (часть 2).

Ивашев-Мусатов Олег Сергеевич
доцент механико-математического факультета
МГУ им. М.В.Ломоносова.

В первой части приведены наглядные представления, позволившие решать некоторые задачи. Для решения более сложных задач в математике используется понятие предела функции, к которому мы здесь и переходим. В изложении мы попрежнему ориентируемся на 3-ю группу учащихся и потому ограничиваемся "житейским" введением этого понятия (в отличие от общепринятых программ и учебников, рассчитанных на группы 1 и 2 и почти не воспринимающихся группой 3).

Формирование понятия предела функции начнем с двух примеров.

Пример 1. При вычислении ${\pi}^2$ естественно взять ${\pi}^2 = {3,14}^2 = 9,86$ . Если точность этого приближенного равенства мала, то берем ${\pi}^2 = {3,1416}^2$ . Это уже поточнее. Ясно, что число ${\pi}^2$ можно вычислить с любой точностью - надо только для числа $\pi$ взять достаточно много верных знаков.

Осознаем, что делается в этом примере - мы вычисляли значение непрерывной функции $y=x^2$ при $x=\pi$ всё с большей и большей точностью. Анализ наглядного представления о непрерывной функции показывает, что аналогичное положение сохраняется и в общем случае. Именно, если функция $f$ непрерывна в точке $x_0$ , то приближенное равенство $f(x) \approx f(x_0)$ можно получать с любой точностью, если выбрать соответствующую точность приближенного равенства $x \approx x_0$ .

Будем считать, что это и есть определение непрерывности функции $f$ в точке $x_0$ , данное на "житейском" языке.

Пример 2. Если небольшой центральный угол дуги окружности равен $2x$ рад и радиус окружности $R$ , то, как известно, длина дуги равна $2Rx$ , a длина хорды равна $2R \sin{x}$ . Наглядно ясно, что малая дуга окружности почти сливается со своей хордой, т.е. их длины почти равны, так что

$2Rx \approx 2R \sin{x}$ или (поделив на $2Rx$ ) $\frac{\sin{x}}{x} \approx 1$ .

Здравый смысл подсказывает (и по таблицам видно), что это приближенное равенство можно получать с любой точностью, если надлежащим образом выбрать точность приближенного равенства $x \approx 0$ .

Это утверждение надо доказать. Для этого возьмем окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$ , выберем число $x, \quad 0<x<\frac{\pi}{2}$ построим угол $AOB$ в $x$ рад с вершиной $O$ (рис.1);

пусть $AC$ - касательная к этой окружности в точке $A$ . Геометрически очевидно, что площадь $\triangle OAB$ меньше площади сектора $OAB$ , которая в свою очередь меньше площади $\triangle OAC$ . Записывая эти площади по известным формулам,получаем:

$\frac12 R^2 \sin{x} < \frac12 R^2 x < \frac12 R^2 tg{x}$ ,

откуда следует:

$\cos{x} < \frac{\sin{x}}{x} < 1$ .

Пользуясь этими неравенствами, оцениваем погрешность приближенного равенства $\frac{\sin{x}}{x} \approx 1$ :

$\| \frac{\sin{x}}{x} - 1 \|=1- \frac{\sin{x}}{x} < 1- \cos{x} = 2 \sin^2{\frac{x}{2}} = 2 $ \frac{x}{2} $^2 $\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} $^2 < \frac{x^2}{2}$ .

Итак, погрешность приближенного равенства $\frac{\sin{x}}{x} \approx 1$ по модулю меньше $\frac{x^2}{2}$ . Этим доказано, что приближенное равенство $\frac{\sin{x}}{x} \approx 1$ справедливо с любой точностью, если с нужной точностью выполнено приближенное равенство $x \approx 0$ . Например, если приближенное равенство $\frac{\sin{x}}{x} \approx 1$ надо получить с точностью до $0,0001$ , то достаточно взять $x \approx 0$ с точностью до $0,01$ ; если приближенное равенство $\frac{\sin{x}}{x} \approx 1$ надо получить с точностью до $10^{-6}$ , то достаточно взять $x \approx 0$ с точностью до $10^{-3}$ и т.д.

Установленное в примере 2 утверждение принято формулировать так: функция $\frac{\sin{x}}{x}$ при $x$ стремящемся к $0$ , имеет предел равный $1$ и записывать в виде

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ .

Эту формулу называют первым замечательным пределом.

История развития науки и техники показала, что при решении многих задан возникает ситуация, сходная с ситуацией примера 2. Именно, для функции $f$ бывает можно подобрать такое число $A$ , что приближенное равенство $f(x) \approx A$ справедливо с любой точностью, если с необходимой точностью выполнено приближенное равенство $x \approx b$ и $x \neq b$ . При этом говорят: функция $f$ при $x$ , стремящемся к $b$ имеет предел, равный числу $A$ и пишут

$A = \lim_{x \rightarrow b} f(x)$ .

Будем считать, что это и есть определение предела функции $f$ в точке $b$ , данное на "житейском" языке.

В XVIII веке великий математик Леонард Эйлер доказал, что функция $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ при $x \rightarrow 0$ имеет предел, который в его честь обозначают буквой $e$ :

$e = \lim_{x \rightarrow0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$ .

Эту формулу называют вторым замечательным пределом. Математики доказали иррациональность числа $e$ , так что оно записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дроби: $e = 2,71828...$ .

Сравнивая "житейские определения" непрерывности и предела функции в точке, замечаем: если функция $f$ непрерывна в точке $x_0$ , то

$f(x_0) =\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$

Решение простейших примеров на вычисление пределов основано на следующем: если $f(x) = g(x)$ при всех $x \neq x_0$ из некоторого интервала $(x_0 -r, \quad x_0 +r)$ , а функция $g$ имеет предел при $x \rightarrow x_0$ , то

$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} g(x)$ .

Например, при любом $x \neq 3$

$\frac{x^2-9}{x^3-27} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{x+3}{x^2+3x+9}$ ,

а функция $\frac{x+3}{x^2+3x+9}$ непрерывна в точке $x=3$ и, следовательно, имеет предел при $x \rightarrow 3$ , равный ее значению в этой точке.Поэтому

$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-9}{x^3-27} =\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x+3}{x^2+3x+9} = \frac{3+3}{3^2+3 \cdot 3 +3} = \frac29$

В более сложных случаях пользуются следующими основными правилами вычисления пределов (их доказательство не входит в курс средней школы):

Теорема. Если существуют $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$ и $\lim_{x \rightarrow x_0} g(x)$ , то существуют:

$\lim_{x \rightarrow x_0} (f(x)+g(x)) = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) + \lim_{x \rightarrow x_0} g(x)$ ;
$\lim_{x \rightarrow x_0} (f(x)-g(x)) = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) - \lim_{x \rightarrow x_0} g(x)$ ;
$\lim_{x \rightarrow x_0} Cf(x) = C \lim_{x \rightarrow x_0} f(x), \qquad C$ - постоянная;
$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)g(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow x_0} g(x)$ ;
$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)}{\lim_{x \rightarrow x_0} g(x)}$ , если $\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) \neq 0$ ;

Например (над знаками равенства стоят цифры, а ниже, под тем же номером, помещено объяснение законности этого равенства):

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin{x} +2x +x^2}{7x-x^3} \stackrel{[1]}{=} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin{x}}{x} +2 +x}{7-x^2} \stackrel{[2]}{=} \frac{1+2}{7-0} = \frac37$

$[1]$ При вычислении предела учитываются только $x \neq 0$ (в этом примере, в общем случае $x \neq x_0$ ), поэтому и числитель и знаменатель можно поделить на $x$ (равенство функций при $x \neq 0$ будет и без знака предела).

$[2] \qquad \lim_{x \rightarrow 0} (7-x^2)=7 \neq 0; \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin{x}}{x}=1$ и $\lim_{x \rightarrow x_0} (2+x) = 2$ - предел числителя равен $3$ по правилу "предел суммы.

Вернёмся теперь к дифференцируемым функциям. Из равенства (6) части I при $x \neq x_0$ получаем: $\frac{f(x) -f(x_0)}{x-x_0} = \phi (x)$ , где функция $\phi$ непрерывна в точке $x_0$ , и $f'(x_0) = \phi (x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \phi (x)$ . Поэтому

$f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Например, для функции синус

$\frac{\sin{x}- \sin{x_0}}{x-x_0} = \frac{2 \sin{\frac{x-x_0}{2}} \cos{\frac{x+x_0}{2}}}{x-x_0} = \frac{\frac{\sin{x-x_0}}{2}}{\frac{x-x_0}{2}} \cdot \cos{\frac{x+x_0}{2}}$

и

$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{\sin{x}- \sin{x_0}}{x-x_0} \stackrel{[1]}{=} \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{\frac{\sin{x-x_0}}{2}}{\frac{x-x_0}{2}} \cdot \lim_{x\rightarrow x_0} \quad \cos{\frac{x+x_0}{2}} \stackrel{[2]}{=} 1 \cdot \cos{x_0} \Rightarrow \sin'{x_0} =\cos{x_0}$

$[1]$ По правилу "предел произведения";

$[2]$ При $x \to x_0$ переменная $t=\frac{x-x_0}{2} \to 0$ , и пользуемся первым замечательным пределом, что дает:

$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{\frac{\sin{x-x_0}}{2}}{\frac{x-x_0}{2}} =1$ ,

а $\cos{\frac{x+x_0}{2}}$ непрерывная функция.

Поскольку $x_0$ - любая точка, то пишут просто:

$\sin'{x} = \cos{x}$ .

В математике доказаны еще формулы (их доказательство не входит в программу средней школы):

$(e^x)' =e^x, \quad (a^x)' = a^x \ln{a}, \quad \ln'{x} =\frac{1}{x}, \quad (x^p)' = px^{p-1}$ .

Напомним, что $\ln{u} = log_e u$ . Две последние формулы - для $x$ , из области определения функций.

Для дифференцируемой в точке $x_0$ функции $f$ прямую с уравнением

$y=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$

называют касательной к графику функции $f$ в точке касания $(x_0, \quad f(x_0))$ . Пусть точка $(x, \quad y)$ лежит на этой касательной. В математике доказано: для наиболее важных для приложений функций $f$ можно подобрать такое число $p$ (для каждой функции и $x_0$ - своё), что для всех $x$ из малого интервала $(x_0-r, \quad x_0+r)$ выполнено равенство

$y-f(x) \approx (x-x_0)^2 p$ .

Поэтому при решении ряда задач малую дугу линии можно заменить соответствующим отрезком касательной к этой линии (рис.2).

Аналогичные соображения используются при вычислении площадей плоских фигур. Начнем с криволинейных трапеций; так называют фигуру $\Phi$ на плоскости (рис.З),

которая ограничена снизу осью абсцисс, с боков прямыми $x=a$ и $x=b$ , сверху - графиком непрерывной и положительной функции $f$ . Для приближенного подсчета площади $S$ фигуры $\Phi$ разобьем ее на $n$ полос прямыми $x=x_i, \quad i=1, \quad 2, \quad ... \quad, n-1$ , параллельными оси ординат (рис.4),

и каждую полосу заменяем прямоугольником, верхнее основание которого пересекает график функции $f$ . Тогда сумма $S_n$ площадей этих прямоугольников, как подсказывает интуиция, приблизительно равна $S$ и это приближенное равенство можно получать с любой точностью, если все полосы достаточно узки (в математике это доказано!).

Запишем сказанное в виде формул. Верхняя сторона прямоугольника (рис.5)

пересекает график $f$ в точке с абсциссой $c_i \in [x_{i-1}, \quad x_i]$ . Тогда высота прямоугольника равна $f(c_i)$ . Ширина прямоугольника равна $x_i - x_{i-1}$ , эту разность принято обозначать $\triangle x_i$ т.е. $\triangle x_i = x_i - x_{i-1}$ . Таким образом, площадь прямоугольника равна $f(c_i) \triangle x_i, \quad i=1, \quad 2, \quad ... \quad, \quad n$ , и получается приближенное равенство

$(1) \qquad S \approx f(c_1) \triangle x_1+f(c_2) \triangle x_2 + \quad ... \quad + f(c_i) \triangle x_i + \quad ... \quad + f(c_n) \triangle x_n = S_n$

Как было уже сказано, геометрически очевидно, что приближенное равенство $(1)$ можно получать с любой точностью, если все $\triangle x_i$ одновременно достаточно малы. Наибольшее из чисел $\triangle x_i$ принято обозначать $\lambda$ (буква греческого алфавита "лямбда"). Тогда все $\triangle x_i$ малы, если число $\lambda$ мало.

Подытоживая сказанное, получаем: приближенное равенство $S \approx S_n$ можно получать с любой точностью, если с должной точностью $\lambda \approx 0$ . Это очень похоже на "житейское определение" предела функции. Поэтому сохраним аналогичную формулировку: число $S$ равно пределу $S_n$ при $\lambda \to 0$ и запись

$(2) \qquad \qquad \qquad S = \lim_{\lambda \to 0} S_n$ .

Суммы, подобные $(1)$ , и их пределы $(2)$ постоянно встречаются при решении многих задач. Отметим, что функция $f$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения (скажем, синус на отрезке $[-\pi, \quad \pi]$ ). В XVII веке Ньютон и Лейбниц для предела $(2)$ суммы вида $(1)$ ввели обозначение $\int_{a}^{b} f(x)dx$ и название: определенный интеграл функции $f$ в пределах от $a$ до $b$ . Они же доказали основную формулу для вычисления определенного интеграла:

Теорема. Если $F'(x) = f(x)$ при всех $x$ из некоторого интервала $I$ , то для любого отрезка $(a,\quad b) \subset I$ выполнено равенство

$(3) \qquad \qquad \qquad \int_{a}^{b} f(x)dx =F(b)-F(a)$ .

Равенство $(3)$ называют формулой Ньютона-Лейбница.

Например, заметив, что

$$ \frac{x^3}{3} $' = \frac13 $ x^3 $' = \frac13 \cdot 3x^2 = x^2$

можем записать

$\int_{1}^{2} x^2 dx = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac73$ .

Проанализировав сказанное о вычислении площади криволинейной трапеции, изображенной на рис.2, для ее площади $S$ перходим к равенству

$S= \int_{a}^{b} f(x)dx$

Поэтому результат вычисления $\int_{1}^{2} x^2 dx = \frac73$ есть площадь фигуры, изображенной на рис.6.

Обычно используют обозначение

$F(b) -F(a) = F(x)|_{a}^{b}$ .

Тогда приведенный выше подсчет запишется так:

$\int_{1}^{2} x^2 dx = \frac{x^3}{3}  |_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac73$ .

Решение задач обычно начинается в "рабочем порядке" т.е. не выписывая подробно суммы, аналогичные суммам в $(1)$ . Поясню это на примере вывода "в рабочем порядке" формулы для площади криволинейной трапеции. Режем криволинейную трапецию (рис.3) на полосы, одна из них изображена на рис.7,

ее площадь приблизительно равна $f(x)dx$ , а площадь $S$ криволинейной трапеции приближенно равна сумме этих выражений. При $\lambda \to 0$ сумма имеет пределом $\int_{a}^{b} f(x) dx$ а, с другой стороны, предел такой суммы есть $S$ и потому $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$ .

Разберем примеры решения задач "в рабочем порядке".

Пример 1. Вычислим площадь $S$ фигуры "между двумя графиками" (рис.8).

Разрезаем фигуру на полосы, одна из них изображена на рис.8, ее ширина $dx$ , а "высота" $(f(x)-g(x))$ , ее площадь приближенно равна $(f(x)-g(x))dx$ . Сумма этих выражений дает приближенно искомую площадь $S$ . При $\lambda \to 0$ получаем из суммы интеграл и точное равенство

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x))dx$ .

Пример 2. На прямой лежит материальная точка массы $m$ , и однородный материальный стержень массы $M$ . Длина стержня равна $l$ и расстояние от него до точки равно $r$ . Они притягиваются по закону Ньютона всемирного тяготения. Найти силу $F$ этого притяжения.

Разрезаем стержень на части - одна из них показана на рис.9.
Масса выделенной части равна $\frac{M}{l}dx$ она притягивается точкой $m$ силой приближенно равной $G \frac{m \frac{M}{l}dx}{x^2}$ , а сила $F$ притяжения точка-стержень приближенно равна сумме таких выражений. При переходе к пределу, когда $\lambda \to 0$ , получаем точное значение силы $F$ притяжения, а суммы дают интеграл в тех пределах, в которых меняется $x$ : от $r$ до $r+l$ . Итак, сила

$F= \int_{r}^{r+l} G \frac{mM}{lx^2}dx = -G \frac{mM}{lx} |_{r}^{r+l} = -G \frac{mM}{l(r+l)} + G \frac{mM}{lr} = G \frac{mM(r+l-r)}{rl(r+l)} = G \frac{mM}{r(r+l)}$ .

Здесь мы воспользовались теоремой Ньютона-Лейбница и тем, что

$$ G \frac{mM}{lx} $' = -G \frac{mM}{lx^2}$

Пример 3. Цилиндр радиуса $r$ и высоты $H$ погружается вертикально в воду. Найти работу $A$ против силы Архимеда выталкивания воды при погружении: в начале - нижнее основание цилиндра на зеркале воды, в конце - верхнее основание совпало с зеркалом воды (полное погружение).

Разобьем всё погружение на этапы: в начале этапа погрузились на глубину $x$ , в конце этапа погрузились еще на $dx$ (рис.10).
В начале этапа сила Архимеда равна (для простоты плотность воды принимаем за 1) $\pi r^2 x$ (объем погруженной части цилиндра). В конце этапа, после погружения еще на $dx$ совершается работа, приблизительно равная $\pi r^2 x dx$ , а вся работа по погружению от начального положения до полного погружения приближенно равна сумме таких выражений. Переходя к пределу при $\lambda \to 0$ для работы $A$ получаем точное выражение, а из сумм получаем интеграл:

$A= \int_{0}^{H} \pi r^2 x dx = \pi r^2 \frac{x^2}{2} |_{0}^{H} = \pi r^2 \frac{H^2}{2} - 0 = \frac12 \pi r^2 H^2$ .

Мы воспользовались теоремой Ньютона-Лейбница и тем, что

$$ \pi r^2 \frac{x^2}{2} $' = \pi r^2 x$ .