О теории вероятностей в школе

О.С.Ивашев-Мусатов

Решением министерства образования и науки в средней школе введено изучение теории вероятностей для всех. Предлагаемая заметка, возможно, несколько облегчит соответствующий труд учителя.

Основание при изучении теории вероятностей - формулировка, данная А.Н.Колмогоровым (БСЭ, 1948г.):

«вероятностей теория -раздел математики, в котором по вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий, связанных как-либо с первыми».

Изучение теории вероятностей (ТВ) состоит в освоении упомянутых здесь понятий (случайные события, связи между ними, их вероятности).

Необходимо подчеркнуть, что из приведённого определения следует: прежде чем начинать решение задачи методами ТВ надо откуда-то иметь вероятности некоторых событий. Они берутся из той области, в которой родилась задача (физика, техника, биология, демография и т.п.). Диктует их здравый смысл той области, где возникла задача.

Математика к этому не имеет никакого отношения.

Схема решения задач средствами ТВ: делается опыт, его результат - событие. Например, при игре в монету опыт - «бросили монету, посмотрели - что сверху». В этом опыте возможны события (их принято обозначать буквами): Г=«выпал герб» и Ц=«выпала цифра».

Изучение опытов с непредсказуемыми заранее последствиями (типа игры в монету) показало: между опытом и событием, которое может в нём произойти, объективно существует своеобразная вероятностная связь, её называют вероятностью события и характеризуют числом, которое проявляется только при многократном повторении опыта. Именно: если в опыте может произойти событие $A$ с вероятностью $p,\quad 0\le p\le 1$ , и опыт независимо повторили $N$ раз, то событие $A$ происходит приблизительно $N\cdot p$ раз.

Эти наблюдения были сделаны в азартных играх: монета, кости, карты... Так, при игре правильной монетой приблизительно в половине бросков выпадал герб (многовековая практика игроков) и стали говорить «вероятность выпадения герба равна 1/2». Аналогично и при игре в кости: приблизительно в 1/6 бросков правильной игральной кости выпадало 1 очко (2,3,4,5 или 6 очков), и стали говорить: «вероятность выпадения 1 очка равна 1/6» и т.п. И по жизни широко бытовали выражения: «это невероятно», «дождь маловероятен», «у игроков шансы равны», т.е. вероятностные оценки на будущее всегда были.

Чтобы найти вероятность определённого события в определённом опыте создано большое число методов её вычисления. Простейший из них - классическое определение вероятности события, в котором указывается как надо вычислять вероятность события в простейшем «классическом» опыте.

События для наглядности изображаются фигурами на плоскости (рис.1, 2, 3, 4); событие и изображающая его фигура

обозначаются одной буквой. На рис.3 изображены события $A$ и $B$ , которые в опыте могут одновременно произойти (произошло и событие $A$ и событие $B$ ), - общая их часть окрашена, она изображает событие, которое называют «пересечение событий $A$ и $B$ », его записывают так: $A\cap B$ .

На рис.1 события в опыте одновременно произойти не могут. Такие события называют несовместными.

Рис.2 иллюстрирует событие: «произошло хоть одно из этих событий» (или $A$ , или $B$ , или оба). Его называют «объединение событий $A$ и $B$ » и обозначают $A\cup B$ .

На рис.4 показан вид связи между событиями - «событие $A$ благоприятствует событию $B$ ». Это означает: из того, что произошло событие $A$ следует, что произошло событие $B$ и обозначается $A\subset B$ .

В учебных упражнениях вероятности событий, по вероятностям которых вычисляются искомые вероятности, указываются неявно. Например, в задаче: «Лежат в ящике шары, одинаковые по форме и на ощупь, один из них отмечен. Наудачу вынимают один шар - какова вероятность вынуть отмеченный шар?» - вероятности некоторых событий указаны условиями «одинаковые по форме и на ощупь» и «наудачу вынимают один шар». Они говорят о том, что ни один из шаров не имеет большую вероятность быть вынутым, чем любой другой. Если шаров в ящике 20, то вероятность вынуть отмеченный шар равна 1/20.

В более сложных случаях приходится дополнять условия задачи, не меняя её вероятностного содержания.

Например, для решения задачи: «В ящике лежат одинаковые по форме и на ощупь шары - зелёных 12, красных 8. Вынимают наудачу 3 шара, найти вероятность того, что вынуто 2 красных и 1 зелёный» - придётся все шары перенумеровать например так: номерами от 1 до 12 - зелёные шары и с 13 до 20 - красные. Здесь опыт «наудачу вынуто 3 шара». Его результат - событие «получили набор из трёх разных чисел из возможных от 1 до 20». В результате опыта одно из этих событий обязательно происходит, но любая их пара несовместна. Такие события называют исходами проводимого опыта.

Условия «шары одинаковые на ощупь, 3 шара вынимают наудачу» указывают: вероятность вынуть сочетание (3, 15, 19) не больше и не меньше, чем вероятность вынуть любое другое. Поэтому все возможные наборы троек чисел имеют равные вероятности; говорят - «они равновероятны».

Для выявления равновероятных событий в опыте более чётких правил нет.

Итак, после того, как все шары занумерованы, опыт приведён к виду когда применимо классическое определение вероятности события: в опыте указаны равновероятные исходы, их число

$C_{20}^{3}=1140$ .

Выписанная тройка - исход опыта, благоприятствующий событию А=«вынуто 2 красных шара и 1 зелёный», а всех исходов, событию $A$ благоприятствующих,

$C_{8}^{2}\cdot C_{12}^{1}=336$ ,

а потому искомая вероятность события $A$ равна $336:1140\approx 0,295$ .

Приведём одно из объяснений того, что событию «вынуто 2 красных и 1 зелёный» число благоприятствующих исходов равно произведению $C_{8}^{2}\cdot C_{12}^{1}$ . Выпишем все такие исходы на карточки и разложим их по коробкам. В первую коробку складываем все исходы, содержащие шар №1, это зелёный шар, а остальные два вынутых шара - красные; их возможное число $C_{8}^{2}$ , и столько карточек будет сложено в первую коробку. Во вторую коробку складываем все исходы, содержащие шар №2, их $C_{8}^{2}$ - столько карточек складывается во вторую коробку (повторяется рассуждение, сделанное для первой коробки). И так далее до последних исходов, содержащих шар №12 - их $C_{8}^{2}$ .

Таким образом, все интересующие нас исходы будут разложены по коробкам, в каждой коробке по $C_{8}^{2}$ исходов, всех коробок $12=C_{12}^{1}$ , и потому число всех этих исходов равно произведению $C_{8}^{2}\cdot C_{12}^{1}$ .